Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho hai hàm số u(x), v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Ta có:

(u + v)’ = u’ + v’, (u – v)’ = u’ – v’; (uv)’ = u’v + uv’; $\left(\frac{u}{v}\right)\text{'}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}$ (v ≠ 0).

Hệ quả: Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định:

+ Nếu c là một hằng số thì (cf)’ = cf’.

+ $\left(\frac{1}{f}\right)\text{'}=\frac{-f\text{'}}{f^2}$ (f = f(x) ≠ 0).

2. Ví dụ minh họa về đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = 2x³ + 3x⁴.

b) g(x) = x⁶ – 5x³.

c) h(x) = 3x⁴ + 0,5x² – x + 1.

Hướng dẫn giải

a) f’(x) = (2x³)’ + (3x⁴)’ = 6x² + 12x³.

b) g’(x) = (x⁶)’ – (5x³)’ = 6x⁵ – 15x².

c) h’(x) = (3x⁴) + (0,5x²)’ – x’ + 1’ = 12x³ + x – 1.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = xcosx.

b) $y=\frac{x}{\sin x}$.

Hướng dẫn giải

a) y’ = (xcosx)’ = x’.cosx + x.(cosx)’ = cosx – xsinx.

b) $y\text{'}=\left(\frac{x}{\sin x}\right)\text{'}=\frac{x\text{'}\sin x-x\left(\sin x\right)\text{'}}{{\left(\sin x\right)}^2}=\frac{\sin x-x\cos x}{{\sin }^{2}x}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số: f(x) = x³ – x². Giải bất phương trình: f’(x) > 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f’(x) = 3x² – 2x.

Do đó, f'(x) > 0 ⇔ 3x² – 2x > 0 ⇔ $\left[\begin{array}{c}x<0\\ x>\frac{2}{3}\end{array}\right]$.

Vậy bất phương trình f’(x) > 0 có tập nghiệm là: $S=\left(-\infty ;0\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.

3. Bài tập về đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x-6$.

b) y = 2x.e^x.

c) y = 3log₄x – 5x + 1.

d) $y=\frac{2x+1}{x-3}$.

f) y = tanx + xcotx.

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+3}$ tại x = 2.

b) $y=\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x+1\right)$ tại x = 4.

Bài 3. Cho hàm số f(x) = 3x³ + 5x² + 4 và $g\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+x^3$.

Tính f’(3) – 2g’(4).

Bài 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, g(x) được xác định bởi g(x) = 4 + 2f(x). Biết f’(4) = 10. Tính g’(4).

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = 3sint, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng cm. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{3}\left(s\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì

• Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Hàm số hợp là gì

• Đạo hàm cấp hai là gì

• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

---