Đạo hàm cấp hai là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đạo hàm cấp hai là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm đạo hàm cấp hai.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

2. Ví dụ minh họa về đạo hàm cấp hai

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:

a) y = 3x² + 6x – 1.

b) y = x³ + e^{2x + 1}.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y’ = 3.2x + 6.1 + 0 = 6x + 6, y” = 6.1 + 0 = 6.

b) Ta có: y’ = 3x² + (2x + 1)’e^{2x + 1} = 3x² + 2e^{2x + 1}.

y” = 6x + 2(2x + 1)’e^{2x + 1} = 6x + 4e^{2x + 1}.

Ví dụ 2.

a) Cho hàm số y = x⁴ + 2x² + 1. Tính y”(2).

b) Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$. Tính f”(1).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y’ = 4x³ + 4x, y” = 12x² + 4. Do đó, y”(2) = 12.2² + 4 = 52.

Vậy y”(2) = 52.

b) Với x ≠ 2 ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left(x-2\right)\text{'}}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}$;

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\left[\frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}\right]\text{'}=\frac{\left[{\left(x-2\right)}^2\right]\text{'}}{{\left(x-2\right)}^4}=\frac{2\left(x-2\right)}{{\left(x-2\right)}^4}=\frac{2}{{\left(x-2\right)}^3}$.

Do đó, $f\text{'}\text{'}\left(1\right)=\frac{2}{{\left(1-2\right)}^3}=-2$. Vậy f''(1) = –2

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) = ax⁴ + 2x³ + b (a, b là tham số) và f(1) = 5 và f”(–1) = 12. Tìm a và b.

Hướng dẫn giải

Ta có: f’(x) = 4ax³ + 6x²; f”(x) = 12ax² + 12x.

Vì f”(–1) = 12 nên 12a – 12 = 12 nên a = 2.

Vì f(1) = 5 nên a + 2 + b = 5 nên 2 + b = 3, do đó b = 1.

Vậy a = 2, b = 1.

3. Bài tập về đạo hàm cấp hai

Bài 1. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + sin(2x +1).

b) y = x⁴ – e^{3x + 1}.

c) $y=\frac{3x^2+4}{x-1}$.

d) y = log₃ (4x + 1).

Bài 2. Cho hàm số y = x.e^2x + e^3x – 1. Tính y” (2).

Bài 3. Cho hàm số: y = x⁴ + 3x³ + 2x². Tìm các giá trị của x sao cho y”(x) > 3.

Bài 4. Cho hàm số f(x) = sinx.cosx.(cos²x – sin²x). Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) tại $x_o=\frac{\pi }{3}$.

Bài 5. Cho hàm số y = 2x³ + 3x². Giải phương trình f’(x) = f”(x).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì

• Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

• Hàm số hợp là gì

• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

---