Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.

1. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (e^x)’ = e^x.

Hàm số y = a^x (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (a^x)’ = a^x ln a.

Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi x dương và $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$.

Hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x dương và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$.

2. Ví dụ minh họa về đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 1. Chọn các phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (e^x)’ = e^x.

b) Hàm số y = a^x (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (a^x)’ = a^x.

c) Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$.

d) Hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x dương, $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$.

Hướng dẫn giải

Các phát biểu đúng là a, d.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x tại x = 4ln3.

b) y = 4^x tại x = 2.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y’ = (e^x)’ = e^x nên $y\text{'}\left(4\ln 3\right)=e^{4\ln 3}=e^{\ln 3^4}=3^4=81$.

b) Ta có: y’ = (4^x)’ = 4^x ln4 nên y’(2) = 4²ln 4 = 16ln4.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = lnx tại x = 6.

b) $y={\log }_{\sqrt{3}}{x}^{\frac{1}{2}}$ tại x = √2.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $y\text{'}=\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$ (x > 0) nên $y\text{'}\left(6\right)=\frac{1}{6}$.

b) Ta có: $y={\log }_{\sqrt{3}}{x}^{\frac{1}{2}}={\log }_{3}x$

Vì $y\text{'}=\left({\log }_{3}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln 3}$ (x > 0) nên $y\text{'}\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}\ln 3}=\frac{\sqrt{2}}{2\ln 3}$.

3. Bài tập về đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài 1. Điền vào … để được đáp án đúng.

a) Hàm số y = lnx (x > 0) có đạo hàm là …

b) Hàm số y = log_…x (x > 0) có đạo hàm là y’ = $\frac{1}{x\ln 2}$.

c) Hàm số y =… có đạo hàm là y’ = e^x.

d) Hàm số y = log₄x có đạo hàm là …

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x tại x = 2ln5.

b) y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}$ tại x = 2.

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = lnx tại x = 6.

b) y = log₃x³ tại x = 27.

Bài 4. Cho hàm số: f(x) = log₂x. Tìm các giá trị của x để $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\ln 4}$.

Bài 5. Cho hàm số y = lnx. Tìm các giá trị nguyên của x để $y\text{'}\left(x\right)>\frac{1}{4}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

• Hàm số hợp là gì

• Đạo hàm cấp hai là gì

• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

---