Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

1. Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$  thì:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M$.

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M$.

$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=L\cdot M$.

 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L}{M}$ nếu M ≠ 0.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x $\in$ (a; b) \ {x₀} và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$ .

2. Ví dụ về quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

Ví dụ 1. Tính các giới hạn:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2+x+1\right)$ .

b) $\underset{x\to -3}{\lim }\sqrt{x^2+2x+4}$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\left[\left(x+2\right)\left(x^2+2x-1\right)\right]$.

Hướng dẫn giải

a)$\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2+\underset{x\to -1}{\lim }x+\underset{x\to -1}{\lim }1={\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)+1=1$ .

b) $\underset{x\to -3}{\lim }\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{\underset{x\to -3}{\lim }\left(x^2+2x+4\right)}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2.\left(-3\right)+4}=\sqrt{7}$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\left[\left(x+2\right)\left(x^2+2x-1\right)\right]$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+2\right)\cdot \underset{x\to 1}{\lim }\left(x^2+2x-1\right)$

$=\left(1+2\right)\left(1^2+2.1-1\right)=6$

Ví dụ 2. Cho f(x) = x + 2 và g(x) = x². Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\left[2f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]$ .

b)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{{\left[g\left(x\right)\right]}^2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }x+\underset{x\to 2}{\lim }2=2+2=4$

$\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=2^2=4$.

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\left[2f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 2}{\lim }\left[2f\left(x\right)\right]+\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)$

$=\underset{x\to 2}{\lim }2\underset{x\to 2}{\cdot \lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=2.4+4=12$.

b)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{{\left[g\left(x\right)\right]}^2}=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }{\left[g\left(x\right)\right]}^2}=\frac{\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)\cdot \underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}$ .

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{x^2-49}{x^2-9x+14}$ .

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+5}-2}{x^2-x}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{x^2-49}{x^2-9x+14}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\left(x-7\right)\left(x+7\right)}{\left(x-7\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{x+7}{x-2}=\frac{7+7}{7-2}=\frac{14}{5}$.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+5}-2}{x^2-x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x+5}-2\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$

$=\frac{1}{\sqrt{1+5}+2}=\frac{1}{\sqrt{6}+2}$

3. Bài tập về quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

Bài 1. Tính các giới hạn:

a) $\underset{x\to 5}{\lim }\left(2x^2+3x-2\right)$ .

b) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\sqrt{2x^2+x+10}$ .

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\left[\left(2x-1\right)\left(x^2+x-4\right)\right]$ .

Bài 2. Cho f(x) = 2x – 1 và g(x) = x³. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\left[3f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]$ .

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2f\left(x\right)+g\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^3}$  .

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x^2-10x+16}$ .

b) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-5x}$ . 9 +3a + b = 0, b = -9 – 3a

Bài 4. Tìm các giá trị của a và b biết rằng: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x-3}=1$ .

Bài 5. Số lượng xe ô tô vào một đường hầm được cho bởi công thức $f\left(v\right)=\frac{290v}{0,4v^2+13v+260}$ , trong đó v (m/s) là vận tốc trung bình của các xe khi đi vào đường hầm. Tính $\underset{v\to 22}{\lim }f\left(v\right)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Giới hạn một bên là gì

• Giới hạn vô cực là gì

• Quy tắc tính giới hạn vô cực

• Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

• Lũy thừa với số mũ nguyên là gì

---