Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11 (Kết nối tri thức)

Tài liệu chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. LÝ THUYẾT

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

Trong mặt phẳng cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov. Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.

Khi tia Om quay góc $\alpha °$ thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo $\alpha °$ . Số đo của góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sd(Ou, Ov).

Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của $360°$ .

b. Hệ thức Chasles: với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

$sd\left(Ou,Ov\right)+sd\left(Ov,Ow\right)=sd\left(Ou,Ow\right)+k.360°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Từ đó suy ra: $sd\left(Ou,Ov\right)=sd\left(Ou,Ow\right)-sd\left(Ov,Ow\right)+k.360°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

2.ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

a. Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ:

Đơn vị radian:Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và một cung AB trên (O). Ta nói cung AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc $\widehat{AOB}$ có số đo bằng 1 radian và viết $\widehat{AOB}=1radian$.

b) Quan hệ giữa độ và radian

$1^0=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad}$ và $1\mathrm{rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^0.$

b. Độ dài của một cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $\alpha$ rad thì có độ dài là $l=R\alpha$ .

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

a. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1;0) làm gốc của đường tròn. Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A'(-1;0), B(0;1), B'(0;-1). Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $sd\left(OA,OM\right)=\alpha .$

b. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giả sử M(x, y) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$. Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của $\alpha$ và kí hiệu là $\cos \alpha$. $\cos \alpha =x$ Tung độ y của điểm M gọi là sin của $\alpha$ và kí hiệu là $\sin \alpha$. $\sin \alpha =y$

Nếu $\cos \alpha \ne 0,$ tỉ số $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ gọi là tang của $\alpha$ và kí hiệu là $\tan \alpha$ (người ta còn dùng kí hiệu $tg\alpha$): $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$

Nếu $\sin \alpha \ne 0,$ tỉ số $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ gọi là côtang của $\alpha$ và kí hiệu là $cot\alpha$ (người ta còn dùng kí hiệu $cotg\alpha$): $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.$

Các giá trị $\sin \alpha ,\cos \alpha ,tan\alpha ,cot\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung $\alpha .$

Chú ý:

a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

b) Từ định nghĩa ta suy ra:

1) $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ xác định với mọi $\alpha \in ℝ.$

Hơn nữa, ta có:

2) $\tan \alpha$ xác định với mọi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

3) $\cot \alpha$ xác định với mọi $\alpha \ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

4) Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

a. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha },$ $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha },$ $\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1,$ $\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

b. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Một cung tròn có số đo $a°$(hoặc $\alpha$ rad) có độ dài là $l=\frac{a\pi R}{180}$(hoặc $l=\alpha R$)

Câu 1: Một đường tròn có bán kính 10. Tính độ dài cung tròn có số đo ${30}^o$

Câu 2: Một bánh xe máy có đường kính 60. Nếu xe chạy với vận tốc 50(km/h) thì trong 5 giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng.

Câu 3: Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc $270°$?

Câu 4: Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10,25cm, kim phút dài 13,25cm. Trong 30 phút kim giờ vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu?

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán:

Câu 5: Cho $\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}\left(-\frac{\pi }{2}<x<0\right)$. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Câu 6: Cho $\sin x=\frac{3}{5}\left(\frac{\pi }{2}<x<\pi \right)$. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Câu 7: Cho $\tan x=\frac{3}{4}\left(-\pi <x<-\frac{\pi }{2}\right)$. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Câu 8: Cho $\cot x=\frac{3}{4}\left(\pi <x<\frac{3\pi }{2}\right)$. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.

Câu 9: Biết $\tan \alpha =2$ và ${180}^0<\alpha <{270}^0$. Tính giá trị của biểu thức: $\sin \alpha +c\text{os}\alpha$

Câu 10: Cho $\tan \alpha =2$. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$

Câu 11: Cho $\tan x=3$. Tính $P=\frac{2\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$.

Câu 12: Cho $\sin a=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A=\frac{\cot a-\tan a}{\tan a+2\cot a}$ bằng

Câu 13: Cho $\tan x=-4.$ Giá trị của biểu thức $A=\frac{2\sin x-5\cos x}{3\cos x+\sin x}$ là

Câu 14: Cho $\tan \alpha =3$, khi đó giá trị của biểu thức $P=\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{3\sin \alpha -5\cos \alpha }$ là

Câu 15: Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ và $\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $P=\sin \alpha +\frac{1}{\cos \alpha }$ bằng

Câu 16: Cho $\tan \alpha =2$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{{\sin }^4\alpha -3{\sin }^3\alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha }$.

Câu 17: Cho $2\tan a-\cot a=1$ với $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ . Tính giá trị biểu thức $P=\frac{\tan \left(8\pi -a\right)+2\cot \left(\pi +a\right)}{3\tan \left(\frac{3\pi }{2}+a\right)}$

Câu 18: Cho $\sin x+\cos x=m$. Tính giá trị của biểu thức: M = |sinx-cosx|

Câu 19: Cho $\frac{{\sin }^4\alpha }{a}+\frac{{\cos }^4\alpha }{b}=\frac{1}{a+b}$. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{{\sin }^8\alpha }{a^3}+\frac{{\cos }^8\alpha }{b^3}$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

• Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Quan hệ song song trong không gian

• Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục

• Chuyên đề Hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Chuyên đề Quan hệ vuông góc trong không gian

• Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất

• Chuyên đề Đạo hàm

---