Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Tài liệu chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

Bài 5: Dãy số

I. LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn.

Kí hiệu:

u:*

nun.

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

u1,u2,u3,...,un,...,

trong đó un=un hoặc viết tắt là un, và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu n*,un=c thì un là dãy số không đổi.

Mỗi hàm số u xác định trên tập M=1,2,3,...,m với m* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u1,u2,u3,...,un, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu.

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1>un với mọi n*.

Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1<un với mọi n*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un với un=3n tức là dãy 3,9,27,81,... không tăng cũng không giảm.

Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Lưu ý: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP.

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số (un) : un=f(n). Hãy tìm số hạng uk.

1. PHƯƠNG PHÁP.

Tự luận: Thay trực tiếp n=k vào un .

MTCT: Dùng chức năng CALC:

Nhập: f(x)

Bấm r nhập X = k

Bấm = Kết quả

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1: Cho dãy số (un) biết un=151+52n152n. Tìm số hạng u6.

Câu 2: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un=2n+1n+2. Số 16784 là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2:Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=f(un). Hãy tìm số hạng uk.

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt u2; u3; ... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk1 vào uk+1.

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u1: a=

- Nhập biểu thức của un+1=fun

- Lặp dấu = lần thứ k-1 cho ra giá trị của số hạng uk .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 3: Cho dãy số (un) biết u1=1un+1=un+2un+1. Tìm số hạng u10.

Câu 4: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1un+1=un+2. Tìm số hạng u50.

Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi u1=a,u2=bun+2=c.un+1+d.un+e. Hãy tìm số hạng uk.

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt u3; u4; ... ; uk bằng cách thế u1, u2 vào u3; thế u2, u3 vào u4; …; thế uk2, uk1 vào uk.

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập C = c.B + d.A + e:A = B:B = C

- Bấm r nhập B = b, ấn =, nhập A = a ấn =

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k-2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng uk .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 5: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1;u2=2un+2=2un+1+3un+5. Tìm số hạng u8.

Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=fn,un. Trong đó fn,un là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk.

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt u2; u3; ... ; uk bằng cách thế 1,u1 vào u2; thế 2,u2 vào u3; …; thế k1,uk1 vào uk.

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n

B : chứa giá trị của un

C : chứa giá trị của un+1

- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của dãy

- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k-1 thì đó là giá trị của số hạng uk .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=0un+1=nn+1un+1. Tìm số hạng u11.

Câu 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1=12un+1=un+2n. Tìm số hạng u50.

DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

1. PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Xét hiệu un+1un

 Nếu un+1un>0 n*thì (un) là dãy số tăng.

 Nếu un+1un<0 n* thì (un) là dãy số giảm.

Cách 2 : Khi un>0 n*ta xét tỉ số un+1un

 Nếu un+1un>1 thì (un) là dãy số tăng.

 Nếu un+1un<1 thì (un) là dãy số giảm.

Cách 3 :Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1>un n*

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số (un)un=an+b tăng khi a>0 và giảm khi a < 0

Dãy số (un)un=qn

 Không tăng, không giảm khi q < 0

 Giảm khi 0< q <1

 Tăng khi q > 1

Dãy số (un)un=an+bcn+d với điều kiện cn+d>0 n*

 Tăng khi ad - bc > 0

 Giảm khi ad - bc < 0

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số qn.un không tăng, không giảm

Dãy số (un)un+1=aun+b tăng nếu a>0u2u1>0 ; giảm nếu a>0u2u1<0 và không tăng không giảm nếu a < 0

Dãy số (un)un+1=aun+bcun+dc,d>0,un>0n* tăng nếu adbc>0u2u1>0 và giảm nếu adbc>0u2u1<0

Dãy số (un)un+1=aun+bcun+dc,d>0,un>0n* không tăng không giảm nếu ad - bc < 0

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số (un) biết un=3n+6.

Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số (un) biết un=n+5n+2.

Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số (un) biết un=5nn2.

Câu 11: Cho dãy số (un) biết (un):u1=2un=3un1+14 n2.

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

1. PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số (un)un=f(n) là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un=f(n)M,n* hoặc un=f(n)m,n*

Cách 2: Dãy số (un)un=v1+v2+...+vk+...+vn

Ta làm trội vkakak+1

Lúc đó una1a2+a2a3+...anan+1

Suy ra una1an+1M,n*

Cách 3: Dãy số (un)un=v1.v2v3...vn với vn>0,n*

Ta làm trội vkak+1ak

Lúc đó una2a1.a3a2...an+1an

Suy ra unan+1a1M,n*

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:


Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học