Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Trang trước Trang sau

Tài liệu chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Bài 5: Dãy số

I. LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $ℕ^{*}$ được gọi là một dãy số vô hạn.

Kí hiệu:

$u : ℕ^{*} \to ℝ$

$n \mapsto u (n) .$

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển

$u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ...,$

trong đó $u_{n} = u (n)$ hoặc viết tắt là $(u_{n}),$ và gọi $u_{1}$ là số hạng đầu, $u_{n}$ là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu $\forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = c$ thì $u_{n}$ là dãy số không đổi.

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M = (1, 2, 3, ..., m)$ với $m \in ℕ^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n},$ trong đó $u_{1}$ là số hạng đầu, $u_{m}$ là số hạng cuối.

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng

b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

Cho số hạng đầu.

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \in ℕ^{*} .$

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n + 1} < u_{n}$ với mọi $n \in ℕ^{*} .$

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = {(- 3)}^{n}$ tức là dãy $- 3, 9, - 27, 81, ...$ không tăng cũng không giảm.

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

Lưu ý: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi $u_{1}$

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi $u_{1}$

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP.

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số $(u_{n})$ : $u_{n} = f (n)$ . Hãy tìm số hạng $u_{k}$ .

1. PHƯƠNG PHÁP.

Tự luận: Thay trực tiếp n=k vào $u_{n}$ .

MTCT: Dùng chức năng CALC:

Nhập: f(x)

Bấm r nhập X = k

Bấm = $\to$ Kết quả

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1: Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ . Tìm số hạng $u_{6}$ .

Câu 2: Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ . Số $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy?

Bài toán 2:Cho dãy số $(u_{n})$ cho bởi $\{\begin{cases} u_{1} = a \\ u_{n + 1} = f (u_{n}) \end{cases}$ . Hãy tìm số hạng $u_{k}$ .

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt $u_{2}; u_{3}; ...; u_{k}$ bằng cách thế $u_{1}$ vào $u_{2}$ , thế $u_{2}$ vào $u_{3}$ , …, thế $u_{k - 1}$ vào $u_{k + 1}$ .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập giá trị của số hạng u₁: a=

- Nhập biểu thức của $u_{n + 1} = f (u_{n})$

- Lặp dấu = lần thứ k-1 cho ra giá trị của số hạng $u_{k}$ .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 3: Cho dãy số $(u_{n})$ biết $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1} \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{10}$ .

Câu 4: Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau: $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{50}$ .

Bài toán 3: Cho dãy số $(u_{n})$ cho bởi $\{\begin{cases} u_{1} = a, u_{2} = b \\ u_{n + 2} = c . u_{n + 1} + d . u_{n} + e \end{cases}$ . Hãy tìm số hạng $u_{k}$ .

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt $u_{3}; u_{4}; ...; u_{k}$ bằng cách thế $u_{1}, u_{2}$ vào $u_{3}$ ; thế $u_{2}, u_{3}$ vào $u_{4}$ ; …; thế $u_{k - 2}, u_{k - 1}$ vào $u_{k}$ .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Nhập C = c.B + d.A + e:A = B:B = C

- Bấm r nhập B = b, ấn =, nhập A = a ấn =

- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k-2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng $u_{k}$ .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 5: Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau: $\{\begin{cases} u_{1} = 1; u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} + 3 u_{n} + 5 \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{8}$ .

Bài toán 4: Cho dãy số $(u_{n})$ cho bởi $\{\begin{cases} u_{1} = a \\ u_{n + 1} = f (\{n, u_{n}\}) \end{cases}$ . Trong đó $f (\{n, u_{n}\})$ là kí hiệu của biểu thức $u_{n + 1}$ tính theo $u_{n}$ và n. Hãy tìm số hạng $u_{k}$ .

1. PHƯƠNG PHÁP

Tự luận: Tính lần lượt $u_{2}; u_{3}; ...; u_{k}$ bằng cách thế $\{1, u_{1}\}$ vào $u_{2}$ ; thế $\{2, u_{2}\}$ vào $u_{3}$ ; …; thế $\{k - 1, u_{k - 1}\}$ vào $u_{k}$ .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:

- Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n

B : chứa giá trị của u_n

C : chứa giá trị của u_n+1

- Lập công thức tính u_n+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của dãy

- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k-1 thì đó là giá trị của số hạng $u_{k}$ .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6: Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau: $\{\begin{cases} u_{1} = 0 \\ u_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} (u_{n} + 1) \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{11}$ .

Câu 7: Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: $\{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 n \end{cases}$ . Tìm số hạng $u_{50}$ .

DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

1. PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$

 Nếu $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \forall n \in ℕ^{*}$ thì $(u_{n})$ là dãy số tăng.

 Nếu $u_{n + 1} - u_{n} < 0 \forall n \in ℕ^{*}$ thì $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Cách 2 : Khi $u_{n} > 0 \forall n \in ℕ^{*}$ ta xét tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$

 Nếu $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1$ thì $(u_{n})$ là dãy số tăng.

 Nếu $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1$ thì $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Cách 3 :Nếu dãy số $(u_{n})$ được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh $u_{n + 1} > u_{n} \forall n \in ℕ^{*}$

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = a n + b$ tăng khi $a > 0$ và giảm khi a < 0

Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = q^{n}$

 Không tăng, không giảm khi q < 0

 Giảm khi 0< q <1

 Tăng khi q > 1

Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = \frac{a n + b}{c n + d}$ với điều kiện $cn + d > 0 \forall n \in ℕ^{*}$

 Tăng khi ad - bc > 0

 Giảm khi ad - bc < 0

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số $(u_{n})$ tăng hoặc giảm thì dãy số $(q^{n} . u_{n})$ không tăng, không giảm

Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ tăng nếu $\{\begin{cases} a > 0 \\ u_{2} - u_{1} > 0 \end{cases}$ ; giảm nếu $\{\begin{cases} a > 0 \\ u_{2} - u_{1} < 0 \end{cases}$ và không tăng không giảm nếu a < 0

Dãy số $(u_{n})$ có $\{\begin{cases} u_{n + 1} = \frac{a u_{n} + b}{c u_{n} + d} \\ c, d > 0, u_{n} > 0 \forall n \in ℕ^{*} \end{cases}$ tăng nếu $\{\begin{cases} a d - b c > 0 \\ u_{2} - u_{1} > 0 \end{cases}$ và giảm nếu $\{\begin{cases} a d - b c > 0 \\ u_{2} - u_{1} < 0 \end{cases}$

Dãy số $(u_{n})$ có $\{\begin{cases} u_{n + 1} = \frac{a u_{n} + b}{c u_{n} + d} \\ c, d > 0, u_{n} > 0 \forall n \in ℕ^{*} \end{cases}$ không tăng không giảm nếu ad - bc < 0

Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân lớp 11 (Kết nối tri thức)

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = 3 n + 6$ .

Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{n + 5}{n + 2}$ .

Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ .

Câu 11: Cho dãy số $(u_{n})$ biết $(u_{n}) : \{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n} = \frac{3 u_{n - 1} + 1}{4} \forall n \geq 2 \end{cases}$ .

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

1. PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = f (n)$ là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_{n} = f (n) \leq M, \forall n \in ℕ^{*}$ hoặc $u_{n} = f (n) \geq m, \forall n \in ℕ^{*}$

Cách 2: Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = v_{1} + v_{2} + ... + v_{k} + ... + v_{n}$

Ta làm trội $v_{k} \leq a_{k} - a_{k + 1}$

Lúc đó $u_{n} \leq (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + ... (a_{n} - a_{n + 1})$

Suy ra $u_{n} \leq a_{1} - a_{n + 1} \leq M, \forall n \in ℕ^{*}$

Cách 3: Dãy số $(u_{n})$ có $u_{n} = v_{1} . v_{2} v_{3} ... v_{n}$ với $v_{n} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Ta làm trội $v_{k} \leq \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$

Lúc đó $u_{n} \leq \frac{a_{2}}{a_{1}} . \frac{a_{3}}{a_{2}} ... \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$

Suy ra $u_{n} \leq \frac{a_{n + 1}}{a_{1}} \leq M, \forall n \in ℕ^{*}$

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học