Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất lớp 11 (Kết nối tri thức)

Trang trước Trang sau

Tài liệu chuyên đề Các quy tắc tính xác suất Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Bài 28. Biến cố hợp. Biến cố giao. Biến cố độc lập

I. LÝ THUYẾT

1. BIẾN CỐ HỢP

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “ A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là $A \cup B$ .

Biến cố hợp của A và B là tập con $A \cup B$ của không gian mẫu $Ω$ .

Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất lớp 11 (Kết nối tri thức)

Ví dụ. Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi E là biến cố “Số thẻ ghi trên tấm thẻ là số lẻ”; F là biến cố “Số thẻ ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố:”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp $G = E \cup F$ . Hỏi G là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a) Không gian mẫu $Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\}$ .

b) $E \cup F$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc là số nguyên tố”.

Ta có $E = \{1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}$ , $F = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$ .

Vậy $G = E \cup F = \{1; 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}$ .

2. BIẾN CỐ GIAO

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B , kí hiệu là AB .

Biến cố giao của A và B là tập con $A \cap B$ của không gian mẫu $Ω$ .

Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất lớp 11 (Kết nối tri thức)

Ví dụ:Một tổ trong lớp 11C có 9 học sinh. Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết chơi môn thể thao nào trong hai môn này hay không? Nếu biết thì đánh dấu X vào ô ghi tên môn thể thao đó, không biết thì để trống. Kết quả thu được như sau:

Môn thể thao Tên học sinh	Toán	Ngữ văn
Bảo	X
Đăng	X
Giang		X
Hoa
Long	X	X
Mai
Phúc	X	X
Tuấn	X	X
Yến	X

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

U : "Học sinh được chọn biết chơi cầu lông";

V : "Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn".

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nội dung của biến cố giao T = UV là gì? Mỗi biến cố U, V, T là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a) Không gian mẫu $Ω =$ {Bảo; Đăng; Giang; Hoa; Long; Mai; Phúc; Tuấn; Yến}.

b) T là biến cố "Học sinh được chọn biết chơi cả cầu lông và bóng bàn".

Ta có: U = {Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}; V = {Giang; Long; Phúc; Tuấn}.

Vậy $T = U \cap V =$ {Long; Phúc; Tuấn}.

3. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và $\bar{B}$ ; $\bar{A}$ và B ; $\bar{A}$ và $\bar{B}$ cũng độc lập.

Ví dụ:Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích thước và khối lượng.

a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy ra rồi trả lại viên bi vào hộp. Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

A : "Minh lấy được viên bi màu đỏ";

B : "Hùng lấy được viên bi màu xanh".

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

b) Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi và không trả lại vào hộp. Tiếp theo, bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

C : "Sơn lấy được viên bi màu đỏ";

D : "Tùng lấy được viên bi màu xanh".

Chứng tỏ rằng hai biến cố C và D không độc lập.

Lời giải

a) Nếu A xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu đỏ. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P (B) = \frac{5}{9}$ .

Nếu A không xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu xanh. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp vẫn có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P (B) = \frac{5}{9}$ .

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A .

Vì Hùng lấy sau Minh nên $P (A) = \frac{4}{9}$ dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra.

Vậy A và B độc lập.

b) Nếu C xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu đỏ. Vì Sơn không trả lại viên bi đó vào hộp nên trong hộp có 8 viên bi với 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P (D) = \frac{5}{8}$ . Nếu C không xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu xanh. Vì Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Vậy $P (D) = \frac{4}{8}$ . Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố D đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố C xảy ra hay không xảy ra. Do đó, hai biến cố C và D không độc lập.

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

8.4 Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

A : "Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I";

B : "Bắt được con thỏ đen từ chuồng II".

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

8.5. Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

E : “Bắt được con gà trống từ chuồng I”;

F : “Bắt được con gà mái từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

PHƯƠNG PHÁP

+ Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.

+ Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là $Ω$ .

+ Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan đến phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

+ Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu $Ω$ . Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

+ Biến cố chắc chắn là tập $Ω$ , biến cố không thể là tập $\emptyset$ .

+ Biến cố đối của biến cố E là biến cố “ E không xảy ra”, kí hiệu là $\bar{E}$ .

+ Để mô tả không gian mẫu và biến cố, ta có thể :

- Mô tả bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu, biến cố.

- Mô tả bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của không gian mẫu, biến cố.

+ Để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố ta thường:

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi đếm.

- Sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Câu 1: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A : "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa";

B : "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa";

C : "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa";

D : "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".

Trong hai biến cố C, D biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố A và B

Câu 2: Tung 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi $A_{i}$ là biến cố lần thứ i xuất hiện mặt 1 chấm. Hãy biểu diễn biến cố “Cả hai lần đều xuất hiện mặt một chấm”.

Câu 3: Tung 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn, B là biến cố số chấm xuất hiện bé hơn 5. Hãy mô tả của các biến cố sau:

$A B$ , $\bar{A} B$ , $\bar{A} \bar{B}$ , $A \bar{B}$ .

Câu 4: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Hãy biểu diễn biến cố tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn.

Câu 5: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Gọi A là biến cố rút được số chẵn, B là biến cố số rút được chia hết cho 3. Hãy mô tả và tính số lượng biến cố AB, $\bar{A} B$ .

Câu 6: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Gọi $A_{k}$ là biến cố “người thứ k được chọn là nữ”

Biểu diễn các biến cố sau:

a) Cả hai đều là nữ

b) Không có nữ nào

c) Ít nhất một người là nữ

d) Có đúng một người là nữ

Câu 7: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi $A_{k}$ là các biến cố “xạ thủ bắn trúng lần thứ k” với k= 1, 2, 3, 4. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$

A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’;

B: “Bắn trúng bia cả 4 lần’’;

C: “Chỉ bắn trúng bia hai lần’’

Câu 8: Một lớp có 60 sinh viên trong đó 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Gọi

A là biến cố sinh viên được chọn học tiếng Anh;

B là biến cố sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp;

C là biến cố sinh viên được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp;

D là biến cố sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp.

Hãy biểu diễn biến cố C, D thông qua 2 biến cố A, B.

Câu 9: Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng. Tính xác suất sao cho

a) Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai;

b) Quá trình lấy dừng lại sau không quá hai lần.

Câu 10: Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25 học sinh trượt Toán, 15 học sinh trượt Lí và 10 học sinh trượt cả Toán lẫn Lí. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biểu diễn các biến cố sau

a) Hai học sinh đó trượt Toán;

b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó;

c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;

Câu 11: Có 2 người thợ săn đi săn cùng bắn vào một con nai. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con nai, B là biến cố người thứ hai bắn trúng con nai. Tìm mối quan hệ giữa 2 biến cố A và B.

Câu 12: Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp 11A đi dự đại hội đoàn trường. Xét hai biến cố:

A : “ Học sinh đó là nam’’.

B : “ Học sinh đó là học sinh giỏi’’.

Nêu nội dung của biến cố $A \cup B$ .

Câu 13: Gieo ngẫu nhiên 1 con xúc xắc và 1 đồng tiền xu. Xét hai biến cố:

A : “ Con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn chấm’’.

B : “ Đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp’’.

Nêu nội dung của biến cố A.B .

Câu 14: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu $A_{k}$ là biến cố: “ Người thứ k bắn trúng’’, k = 1,2.

Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố $A_{1}, A_{2}$ .

a) A : ‘‘ Không ai bắn trúng’’.

b) B : ‘‘ Cả hai cùng bắn trúng’’.

c) C : ‘‘ Có đúng một người bắn trúng’’.

d) D : ‘‘ Có ít nhất một người bắn trúng’’.

Câu 15: Trong một chiếc hộp có chứa 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp, ghi lại màu của viên bi lấy ra và bỏ lại viên bi đó vào hộp.

Xét các biến cố:

A : ‘‘ Quả bóng màu đỏ lấy được ở lần thứ nhất’’;

B : ‘‘ Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ hai’’;

Chứng minh hai biến cố A, B độc lập.

Câu 16: Có 9 chiếc thẻ trong một chiếc hộp được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên lần lượt hai thẻ. Xét hai biến cố sau :

A : ‘‘ Lần thứ nhất rút được thẻ mang số chẵn’’;

B : ‘‘Lần thứ hai rút được thẻ là số chia hết cho 3’’;

Hai biến cố A và B có là hai biến cố độc lập không? Tại sao?

Câu 17: Trong một lớp 11A có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ trong đó có 10 học sinh giỏi gồm 4 nam và 6 nữ. Trong giờ học giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 học sinh lên bảng để kiểm tra bài tập về nhà. Xét các biến cố:

A : ‘‘ Hai học sinh đó là học sinh nam’’.

B : ‘‘ Hai học sinh đó là học sinh giỏi.

Nêu nội dung của biến cố $A \cup B; A \cap B$ .

Câu 18: Một hộp chứa 20 quả cầu cùng kích thước được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu từ hộp. Gọi A là biến cố “Số ghi trên quả cầu được chọn là một số lẻ”, B là biến cố “ Số ghi trên quả cầu được chọn là một số chia hết cho 5”. Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học