Hàm số liên tục tại đoạn là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Hàm số liên tục tại đoạn là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hàm số liên tục tại đoạn.

1. Định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn

Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b)

và$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right).$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] là một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (hình vẽ). Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

2. Ví dụ minh họa về hàm số liên tục trên một đoạn

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$ trên đoạn [–1; 1].

Hướng dẫn giải

Với mọi x₀ ∈ (–1; 1), ta có:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{1-x^2}$$=\sqrt{1-\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^2}$$=\sqrt{1-x_0^2}=f\left(x_0\right).$

Do đó f(x) liên tục tại mọi điểm x₀ ∈ (–1; 1).

Ta lại có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{1-x^2}$$=\sqrt{1-\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{x}^2}$$=\sqrt{1-1}$$=0=f\left(-1\right),$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt{1-x^2}$$=\sqrt{1-\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2}$$=\sqrt{1-1}$$=0$$=f\left(1\right).$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [–1; 1] (hình vẽ).

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) = x – 1 với x ∈ (0; 1).

Với x₀ ∈ (0; 1) bất kì, ta có $\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x-1\right)=x_0-1=f\left(x_0\right).$

Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; 1).

Hơn nữa, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(1\right)$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-1=f\left(0\right)$ nên hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1].

3. Bài tập về hàm số liên tục trên một đoạn

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên [1;2].

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$ trên đoạn [–3; 3].

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x⁵ + x³ – 10 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện đạo hàm

• Điều kiện hàm logarit

• Điều kiện hàm số mũ

• Định nghĩa trục đối xứng là gì

• Đồng phẳng là gì

---