Điều kiện đạo hàm tại 1 điểm, trên 1 khoảng lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện đạo hàm tại 1 điểm, trên 1 khoảng lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện đạo hàm.

1. Điều kiện đạo hàm

1.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu bởi f’(x₀) (hoặc y’(x₀)), tức là

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

1.2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

2. Ví dụ minh họa về điều kiện đạo hàm

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x² + 2x tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) – f(1) = x² + 2x – 3 = x² – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, $\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=x+3.$

Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Vậy f’(1) = 4.

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

$f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+2x\right)-3}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = cx², với c là hằng số.

Hướng dẫn giải

Với x₀ bất kì, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{c{x}^2-c{x}_0^2}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{c\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }c\left(x+x_0\right)=c\left(x_0+x_0\right)=2c{x}_0.$

Vậy hàm số y = cx² (với c là hằng số) có đạo hàm là hàm số y’ = 2cx.

3. Bài tập về điều kiện đạo hàm

Bài 1. a) Tính đạo hàm của hàm số y = –x² + 2x + 1 tại điểm x₀ = –1.

b) Cho hàm số f(x) = x². Tính f’(x₀) với x₀ ∈ ℝ.

Bài 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = x² + 1.

b) f(x) = x³.

c) $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ với x ≠ 0.

Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = C (C là hằng số).

b) f(x) = kx + c (với k, c là các hằng số).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện hàm logarit

• Điều kiện hàm số mũ

• Định nghĩa trục đối xứng là gì

• Đồng phẳng là gì

• Hàm số gián đoạn là gì

---