Lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo Học kì 1 (chi tiết)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Chân trời sáng tạo Học kì 1 hay nhất, chi tiết được biên soạn bám sát sgk Toán 9 Tập 1 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Học kì 1.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9)

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Muốn giải phương trình (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0, ta giải hai phương trình a₁x + b₁ = 0 và a₂x + b₂ = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1.Giải các phương trình:

a) 5x(x – 11) = 0;

b) (x + 6)(3x – 1) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(x – 11) = 0

5x = 0 hoặc x – 11 = 0

x = 0 hoặc x = 11.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 11.

b) Ta có (x + 6)(3x – 1) = 0

x + 6 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

x = –6 hoặc 3x = 1

x = –6 hoặc $x=\frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và $x=\frac{1}{3}.$

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, để giải một phương trình, ta biến đổi để đưa phương trình đó về phương trình tích.

Ví dụ 2.Giải các phương trình:

a) x² – 2x = 0;

b) (2x + 1)² – 9x² = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2.

b) Ta có (2x + 1)² – 9x² = 0

(2x + 1)² – (3x)² = 0

(2x + 1 + 3x)(2x + 1 – 3x) = 0

(5x + 1)(–x + 1) = 0

5x + 1 = 0 hoặc –x + 1 = 0

5x = –1 hoặc –x = –1

$x=\frac{-1}{5}$hoặc x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-1}{5}$và x = 1.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

2.1. Điều kiện xác định của phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

$a)\frac{3x+1}{x-4}=2;$

$b)2-\frac{2-3x}{x+2}=\frac{1}{2x+1}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là x – 4 ≠ 0 hay x ≠ 4.

b) Ta có x + 2 ≠ 0 khi x ≠ –2 và 2x + 1 ≠ 0 khi $x\ne \frac{-1}{2}.$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ –2 và $x\ne \frac{-1}{2}.$

Nhận xét: Những giá trị của ẩn không thỏa mãn điều kiện xác định không thể là nghiệm của phương trình.

2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4. Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4.Giải các phương trình:

$a)2-\frac{x+1}{x}=\frac{x-5}{x-2};$

$b)\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 2.

Ta có $2-\frac{x+1}{x}=\frac{x-5}{x-2}$

$\frac{2x\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x-5\right)}{x\left(x-2\right)}$

2x(x – 2) – (x + 1)(x – 2) = x(x – 5)

2x² – 4x – (x² – x – 2) = x² – 5x

2x² – 4x – x² + x + 2 = x² – 5x

2x = –2

x = –1 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –1.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –1.

Ta có $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

3(x + 1) + 2(x – 2) = 2x + 5

3x + 3 + 2x – 4 = 2x + 5

3x = 6

x = 2 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2.

Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (2x – 8)(x – 7) = 0;

c) 3x – x² = 0;

d) (x – 4)² – 25x² = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 4x(x + 2) = 0

4x = 0 hoặc x + 2 = 0

x = 0 hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = –2.

b) Ta có (2x – 8)(x – 7) = 0

2x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0

2x = 8 hoặc x = 7

x = 4 hoặc x = 7.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = 7.

c) Ta có 3x – x² = 0

x(3 – x) = 0

x = 0 hoặc 3 – x = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 3.

d) Ta có (x – 3)² – 16x² = 0

(x – 3)² – (4x)² = 0

(x – 3 + 4x)(x – 3 – 4x) = 0

(5x – 3)(–3x – 3) = 0

5x – 3 = 0 hoặc –3x – 3 = 0

5x = 3 hoặc 3x = –3

$x=\frac{3}{5}$hoặc x = –1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{3}{5}$và x = –1.

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{x+2}{4x-1}=1;$

b) $1-\frac{2}{x-3}=\frac{x+1}{2x-1}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x – 1 ≠ 0 hay $x\ne \frac{1}{4}.$

b) Ta có x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 3 và 2x – 1 ≠ 0 khi $x\ne \frac{1}{2}.$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 3 và $x\ne \frac{1}{2}.$

Bài 3. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2};$

b) $\frac{x-1}{x-3}-\frac{1}{x+3}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)};$

c) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x + 2 ≠ 0 hay x ≠-2.

Ta có $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$

$\frac{2x-2\left(x+2\right)}{x+2}=\frac{x}{x+2}$

2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 3 và x ≠ –3.

Ta có $\frac{x-1}{x-3}-\frac{1}{x+3}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

(x – 1)(x + 3) – (x – 3) = 3x + 3

x² + 2x – 3 – x + 3 = 3x + 3

x² + x = 3x + 3

x(x + 1) = 3(x + 1)

x(x + 1) -3(x + 1) = 0

(x + 1)(x -3) = 0

x + 1 = 0 hoặc x -3 = 0

x =-1 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 3 (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -1.

c) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –2.

Ta có $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{x^2-x-2x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2+2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{-5x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

-5x + 2 = 4 - 6x

6x - 5x = 4 - 2

x = 2 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

................................

................................

................................

Xem thêm đề thi lớp 9 các môn học có đáp án hay khác:

Tài liệu giáo án lớp 9 các môn học chuẩn khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---