Tính chất của phép khai phương (Lý thuyết Toán lớp 9) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

• Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

• Với biểu thức A bất kì, ta có $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ nghĩa là

+ $\sqrt{A^2}=A$ khi A ≥ 0 (tức là khi A nhận giá trị không âm)

+ $\sqrt{A^2}=-A$ khi A < 0 (tức là khi A nhận giá trị âm)

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}$ với n > 5;

c) $\sqrt{a^4}$ với a < 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$ (vì $2-\sqrt{3}>0$).

b) Ta có: $\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}=\left|2n-\sqrt{7}\right|$

Với n > 5, suy ra $2n-\sqrt{7}>10-\sqrt{7}>0.$

Do đó, $\sqrt{{\left(2n-\sqrt{7}\right)}^2}=2n-\sqrt{7}.$

c) Ta có: $\sqrt{a^4}=\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}=\left|a^2\right|=a^2$ (do a² ≥ 0).

2. Căn thức bậc hai của một tích

• Với hai số thực a và b không âm, ta có:

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}.$

• Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có:

$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}.$

Ví dụ: Tính:

a) $\sqrt{10}.\sqrt{8};$

b) $\sqrt{1,6}.\sqrt{3}.\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{10}.\sqrt{8}=\sqrt{10.8}=\sqrt{180}=\sqrt{6^2.5}=6\sqrt{5}.$

b) Ta có: $\sqrt{1,6}.\sqrt{3}.\sqrt{5}=\sqrt{1,\mathrm{6.3.5}}=\sqrt{24}=\sqrt{2^2.6}=2\sqrt{6}.$

• Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

$\sqrt{a^{2}b}=\left|a\right|\sqrt{b}.$

+ Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn:

+ Nếu a ≥ 0 thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}.$

+ Nếu a < 0 thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}.$

Nhận xét: Tổng quát hơn, với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}.$

Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

a) $5\sqrt{3}$

b) $-2\sqrt{7};$

c) $b\sqrt{\frac{3}{b}}$ với b > 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2.3}=\sqrt{75}.$

b) Ta có: $-2\sqrt{7}=-\sqrt{2^2.7}=-\sqrt{28}.$

c) Ta có: $b\sqrt{\frac{3}{b}}=\sqrt{b^2.\frac{3}{b}}=\sqrt{3b}$ (vì b > 0).

3. Căn thức bậc hai của một thương

• Với số thực a không âm và số thực b dương, ta có

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

• Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}.$

Ví dụ: Tính:

a) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}};$

b) $\sqrt{16}:\sqrt{8};$

c) $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$

b) Ta có: $\sqrt{16}:\sqrt{8}=\sqrt{\frac{16}{8}}=\sqrt{2}.$

c) Ta có: $\sqrt{0,7}:\sqrt{1,4}=\sqrt{\frac{0,7}{1,4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Bài tập Tính chất của phép khai phương

Bài 1. Tính:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=\left|-9\right|=9.$

b) Ta có: $\sqrt{{\left(-\frac{6}{7}\right)}^2}=\left|-\frac{6}{7}\right|=\frac{6}{7}.$

c) Ta có: ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{36}=3-6=-3.$

d) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)}^2.\sqrt{0,81}=\frac{4}{9}.0,9=\frac{4}{9}.\frac{9}{10}=\frac{2}{5}.$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{7^2.5};$

b) $\sqrt{100a^2}$ với a < 0;

c) $\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b$ với b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{7^2.5}=7\sqrt{5}.$

b) Ta có: $\sqrt{100a^2}=\sqrt{{\left(10a\right)}^2}=\left|10a\right|=-10a$ với a < 0.

c) Với b ≥ 0, ta có:

$\sqrt{6b}.\sqrt{24b}-4b=\sqrt{6b.24b}-4b=\sqrt{144b^2}-4b$

$=\sqrt{{\left(12b\right)}^2}-4b=\left|12b\right|-4b=12b-4b=8b$

Bài 3. Cho hình chữ nhật có chiều rộng a (cm), chiều dài b (cm) và diện tích S (cm²).

a) Tìm S, biết $a=\sqrt{6},$ $b=\sqrt{48};$

b) Tìm a, biết $S=5\sqrt{6},$ $b=\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: S = a.b

$=\sqrt{6}.\sqrt{48}$$=\sqrt{6.48}$

=$\sqrt{288}$$=12\sqrt{2}$

Vậy $S=12\sqrt{2}$ cm².

b) Ta có: a = S : b

$=5\sqrt{6}:\sqrt{3}$

$=5\sqrt{\frac{6}{3}}$$=5\sqrt{2}$

Vậy $a=5\sqrt{2}$cm

Học tốt Tính chất của phép khai phương

Các bài học để học tốt Tính chất của phép khai phương Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 3

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---