Hình quạt tròn và hình vành khuyên (Lý thuyết Toán lớp 9) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

• Người ta chứng minh được tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số không đổi gọi là π (ta thường lấy π ≈ 3,14 hoặc lấy π theo máy tính).

• Độ dài của cung tỉ lệ thuận với số đo của chúng.

• Ta có công thức tính chu vi C của đường tròn là: C = πd = 2πR, trong đó d là đường kính và R là bán kính.

• Trên đường tròn bán kính R, độ dài ℓ của một cung có số đo n° được tính theo công thức: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}.$

Ví dụ: Tính độ dài cung 60° của một đường tròn có bán kính 15 cm. (Lấy π theo máy tính và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Cung 60°, bán kính R = 15 cm có độ dài là:

$\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.15.60}}{180}=5\pi \approx 15,7$ (cm).

Vậy độ dài cung 60° của một đường tròn có bán kính 15 cm khoảng 15,7 cm.

2. Hình quạt tròn

• Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

• Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung n° được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}.$

Ví dụ: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R = 5 cm, ứng với cung 30° (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm²).

Hướng dẫn giải

Hình quạt tròn bán kính R = 5 cm, ứng với cung 30° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .5^2.30}{360}\approx 6,54$ (cm²).

Chú ý:

• Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung tròn AmB được gọi là hình quạt tròn OAmB hoặc hình quạt tròn OAB.

• Người ta chứng minh được diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo của cung ứng với nó.

3. Hình vành khuyên

• Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Hình vành khuyên là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R).

• Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) được tính bởi công thức: $S=\pi \left(R^2-r^2\right).$

Ví dụ: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 6 cm) và (O; 10 cm) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 6 cm) và (O; 10 cm) là:

 $S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \left({10}^2-8^2\right)=36\pi \approx 113,09$ (cm²).

Bài tập Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 1. Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là

A. $\pi R^2;$

B. $\frac{\pi R^2}{2};$

C. $\frac{\pi R^2}{4};$

D. $\frac{\pi R^2}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .R^2.45}{360}=\frac{\pi R^2}{8}.$

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là $\frac{\pi R^2}{8}.$

Bài 2. Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là

A. 10 cm²;

B. 8 cm²;

C. 8π cm²;

D. 10π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là:

$S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \left(3^2-1^2\right)=8\pi$ (cm²).

Bài 3. Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây bằng 2,5 cm;

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm);

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB;

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm.

Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B.

Khi đó, ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R; OH chung; $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$.

Do đó ∆OAH = ∆OBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BH (hai cạnh tương ứng) và AB = 2AH.

Xét ∆OAH vuông tại H có: AH² + OH² = OA² (định lí Pythagore)

Hay AH² = OA² – OH² = 5² – 2,5² = 18,75.

Suy ra $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (cm) và $AB=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ (cm).

Vậy độ dài của dây AB khoảng 8,66 cm.

c) Xét ∆OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$ suy ra $\widehat{AOH}=60°.$

Mà ∆OAH = ∆OBH suy ra $\widehat{BOH}=\widehat{AOH}=60°$  (hai góc tương ứng)

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOH}+\widehat{AOH}=60°+60°=120°$ và $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°.$

Độ dài cung AB là: $\frac{120}{180}.\pi .5=\frac{10}{3}\pi$ (cm).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°$  và độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{10}{3}\pi cm$ .

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$\frac{\pi .5^2.120}{360}=\frac{25\pi }{3}$ (cm²).

Vậy diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB bằng $\frac{25\pi }{3}$ cm².

Bài 4. Tính độ dài các cung 60°; 90°; 150° của đường tròn (O; 5 cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Cung 60°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .5.60}{180}=\frac{5\pi }{3}\approx 5,23$  (cm).

Cung 90°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.90}}{180}=\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$ (cm).

Cung 150°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.60}}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$

Học tốt Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Các bài học để học tốt Hình quạt tròn và hình vành khuyên Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---