Định lí Viète (Lý thuyết Toán lớp 9) | Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 3: Định lí Viète sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Định lí Viète

1. Định lý Viète

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Ví dụ: Xét phương trình x² + 5x – 6 = 0, ta thấy:

∆ = 5² – 4 . 1 . (–6) = 49 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Không cần giải cụ thể x₁, x₂, dựa vào định lý Viète ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{1} = - 5$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 6}{1} = - 6$ .

Nhận xét:

– Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm còn lại là $x_{2} = \frac{c}{a}$ .

– Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1, nghiệm còn lại là $x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

Ví dụ: Không giải phương trình, hãy tìm các nghiệm của phương trình 3x² – 2x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta thấy các hệ số của phương trình có tổng 3 + (–2) + (–1) = 0.

Suy ra phương trình có một nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại của phương trình là $x = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{3} .$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x² – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0.

Ví dụ: Khi biết hai số có tổng S = 5 và tích P = 6, ta suy ra hai số đó là nghiệm của phương trình x² – 5x + 6 = 0.

Ta tính được Δ = (–5)² – 4 . 1 . 6 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 5) + \sqrt{1}}{2.1} = 3$ ;

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 5) - \sqrt{1}}{2.1} = 2$ .

Vậy hai số đó là 3 và 2.

Bài tập Định lí Viète

Bài 1. Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình 5x² + 7x – 3 = 0 là

A. $\frac{7}{5}$ và $\frac{3}{5}$ .

B. $\frac{7}{5}$ và $- \frac{3}{5}$ .

C. $- \frac{7}{5}$ và $\frac{3}{5}$ .

D. $- \frac{7}{5}$ và $- \frac{3}{5}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý Viète, ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{7}{5}$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{3}{5}$ ;

Bài 2. Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 5x + 3 = 0. Giá trị của biểu thức x₁² + x₂² là

A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = - \frac{3}{1} = - 3$ .

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂= 5² – 2.(–3) = 19.

Bài 3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và tích của chúng bằng 60.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – 25x + 60 = 0.

Ta có: ∆ = 25² – 4 . 1 . 60 = 385 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 25) + \sqrt{385}}{2.1} = \frac{25 + \sqrt{385}}{2}$ ;

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 25) - \sqrt{385}}{2.1} = \frac{25 - \sqrt{385}}{2}$ .

Vậy hai số cần tìm là $\frac{25 + \sqrt{385}}{2}$ và $\frac{25 - \sqrt{385}}{2}$ .

Bài 4. Cho phương trình –3x² – 5x – 2 = 0. Với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

$M = x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{- 3} = - \frac{5}{3}$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3}$ .

Ta có: $M = x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2}$ $= x_{1} + x_{2} + \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

$= (x_{1} + x_{2}) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}}$ $= - \frac{5}{3} + \frac{- \frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$ $= - \frac{25}{6}$ .

Bài 5. Cho phương trình x² + 5 mx − 4 = 0. Tìm m để x₁, x₂ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: x₁² + x₂² + 6x₁x₂ = 9.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² + 5mx − 4 = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ = (5m)² − 4.1. (− 4) = 25m² + 16 > 0.

Mà m² ≥ 0 với mọi m nên Δ = 25m² + 16 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{5 m}{1} = - 5 m$ ;

$P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 4}{1} = - 4$ .

Mặt khác, ta có: x₁² + x₂² + 6x₁x₂ = 9

x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + 4x₁x₂ = 9

(x₁ + x₂)² + 4x₁x₂ = 9

(−5m)² + 4. (−4) = 9

25m² − 16 = 9

25m² = 25

m² = 1

m = ± 1.

Vậy m = 1 hoặc m = –1 thì phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Học tốt Định lí Viète

Các bài học để học tốt Định lí Viète Toán lớp 9 hay khác:

Giải sgk Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Chân trời sáng tạo khác