Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC $\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0$

và BH ⊥ AC $\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0$

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:

$\vec{A H} (x + 1; y - 2), \vec{B H} (x - 8; y + 1), \vec{B C} (0; 9), \vec{A C} (9; 6)$

$\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = (x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

$\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = (x - 8) .9 + (y + 1) .6 = 9 x + 6 y - 66 = 0$

Thay y = 2 vào biểu thức 9x + 6y – 66 = 0 ta được:

9x + 6.2 – 66 = 0

⇔ 9x = 54

⇔ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6;2).

c) Ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

Ta lại có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 9.9 + (- 3) .6 = 3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 63 = 9 \sqrt{130} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow c o s \hat{B A C} = \frac{7}{\sqrt{130}} \Leftrightarrow \hat{B A C} \approx 52, 13^{0} .$

Ta có: $\vec{B A} = (- 9; 3)$

$\vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow (- 9) .0 + 3.9 = 3 \sqrt{10} .9. c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow 27 = 27 \sqrt{10} . c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow c o s \hat{A B C} = \frac{1}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow \hat{A B C} \approx 71, 57^{0} .$

$\Rightarrow \hat{A C B} \approx 180^{0} - 71, 57^{0} - 52, 13^{0} \approx 56, 3^{0} .$

Vậy $A B = 3 \sqrt{10}, A C = 3 \sqrt{13}, B C = 9,$

$\hat{B A C} \approx 52, 13^{0}, \hat{A B C} \approx 71, 57^{0}, \hat{A C B} \approx 56, 3^{0} .$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác