Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ hay nhất
Với loạt bài Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ hay nhất Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
1. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) qua trục
- Thiết diện nhận được là một hình chữ nhật.
Diện tích thiết diện: SABCD = BC.CD =2r.h
2. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song và cách trục một khoảng x,
Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD như hình trên.
Gọi H là trung điểm CD ta có OH ⊥ CD=> CD=
Do đó diện tích thiết diện SABCD =CD.BC=
3. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục.
Thiết diện tạo thành là hình tròn tâm O’ bán kính O'A'=r
Diện tích thiết diện: S= πr2
4. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh của hình trụ.
Thiết diện tạo thành là Elip (E) có trục nhỏ 2r => a=r
Trục lớn bằng với là góc giữa trục OI với (P)
Do đó diện tích S= π. a.b=
5. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hình trụ có bán kính r, chiều cao h. Biết thiết diện qua trục là hình vuông có diện tích là 36. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Lời giải:
Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình.
Theo bài ta có: AB2=36 => AB=6 =>
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2π.rh =36π
Ví dụ 2. Cho hình trụ có bán kính bằng 5cm và chiều cao bằng 12cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình trụ.
Lời giải:
Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD như hình
Gọi H là trung điểm CD. Khi đó khoảng cách từ (P) tới trục là OH= 3cm
Theo Pytago ta có:CH==4=> CD=8 cm
Do đó diện tích thiết diện là S=8.12=96cm2.
Ví dụ 3. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 lần bán kính đáy và thể tích khối trụ là 192 π Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) tạo với trục góc 60° . Khi đó (P) tạo với hình trụ thiết diện là một hình Elip. Tính diện tích thiết diện đó.
Lời giải:
Ta có: h=3r
Thể tích khối trụ là V=πr2h=3πr192π => r=4
Elip (E) có trục nhỏ bằng 2r=8 => a=4
Trục lớn bằng
Do đó diện tích (E) là S=π.a.b=
6. Bài tập tự luyện
Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy cùa hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB'A'.
Bài 2. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng . Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α).
Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h = 20cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Tính cạnh của hình vuông.
Bài 4. Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Tính diện tích của bề mặt nước trong cốc.
Bài 5. Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Bài 6. Cho hình trụ có bán kính bằng 3cm và chiều cao bằng 10 cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (α) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1 cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (α) và hình trụ.
Bài 7. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Bài 8. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 lần bán kính đáy và thể tích khối trụ là 256π. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) tạo với trục góc 60°. Khi đó (P) tạo với hình trụ thiết diện là một hình Elip. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 9. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh R. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Bài 10. Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung điểm I của OO′ và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30°. Tính diện tích của thiết diện do (P) cắt khối trụ.
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12