Công thức giải bất phương trình lôgarit (siêu hay)

Công thức giải bất phương trình lôgarit hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

- Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_a x ≥ b, log_a x < b, log_a x ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

2. Tập nghiệm của bất phương trình lôgarit cơ bản.

a. Nghiệm của bất phương trình log_a x > b, (a > 0, a ≠ 1)

b. Tập nghiệm của bất phương trình  log_a x ≥ b, (a > 0, a ≠ 1)

c. Tập nghiệm của bất phương trình log_a x < b, (a > 0, a ≠ 1)

d. Tập nghiệm của bất phương trình log_a x ≤ b, (a > 0, a ≠ 1)

- Chú ý: Khi giải bất phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x. 

3. Một số bất phương trình lôgarit đơn giản

Ví dụ1. Giải các bất phương trình sau:

a. log_0,5 (5x + 10) < log_0,5 (x² + 6x + 8)

Lời giải:

a. log_0,5 (5x + 10) < log_0,5 (x² + 6x + 8)

Bất phương trình ⇔ 5x + 10 > x² + 6x + 8 ( vì 0,5 <1)

⇔ x² + x – 2 < 0 ⇔ -2

Kết hợp với điều kiện ta được -2 < x < 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (-2;1)

⇔ x² + 2x – 24 ⇔ -6 ≤ x ≤ 4

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là

Ví dụ2. Giải các bất phương trình sau:

a. log₂ (x – 3) + log₂ (x – 2) > 1

c. log_0.2 x – log₅ (x – 2) < log_0.2 3

Lời giải:

a. log₂ (x – 3) + log₂ (x – 2) > 1

Điều kiện: x > 3

Bất phương trình ⇔ log₂ [(x – 3)(x – 2)] > 1

⇔ log₂ (x² – 5x + 6) > 1

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là S = (4;+ ∞)

Điều kiện: x > 3 

Bất phương trình ⇔ 2log₃ (x – 3) – log₃ (x² -2x + 3) ≤ 1

⇔ x² – 6x + 9 ≤ 3x² – 6x + 9 ⇔ x² ≥ 0 ∀ x

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là S = (3;+ ∞)

c. log_0.2 x – log₅ (x – 2) < log_0.2 3

Điều kiện: x > 2

Bất phương trình ⇔ log_0.2 x – log_0.2 3 < log₅ (x-2)

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là S = (3;+ ∞)

Ví dụ3. Giải các bất phương trình sau:

Lời giải:

Điều kiện  X > 0

Đặt t = log₃ x. Bất phương trình trở thành:

t² – 5t + 6 ≤ 0 ⇔2 ≤ t ≤ 3

Với 2 ≤ t ≤ 3 ⇒ 2 ≤ log₃ x ≤ 3 ⇔ 9 ≤ x ≤ 27

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là S = [9;27]

Điều kiện: x > 0; log x ≠ {-1;5}

Đặt t = log x, t ≠ {-1;5}. Bất phương trình trở thành:

t² – 5t + 6 ⇔ t = 2; t = 3

-t² + 4t + 5 = 0 ⇔ t = -1; t = 5

Bảng xét dấu:

Với t ∈ (2;3) ⇒ 2 < log x <3 ⇔ 100 < x < 1000

Với t ∈ (5;+∞) ⇒ log x > 5 ⇔ x > 10⁵

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ4. Giải bất phương trình:

Lời giải:

4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a. log₈ (4 – 2x) ≥ 2

c. log₂ (x² – 2x) > 3

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

b. log₂ x ≤ 6 -x

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức lũy thừa

• Công thức logarit

• Công thức tính lãi suất ngân hàng

• Công thức giải phương trình mũ

• Công thức tính trả góp vay vốn