Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Bài 9.53 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.

b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA;

và $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = 90 °$ .

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$ AB.

Vì N là trung điểm của BC nên NB = NC = $\frac{1}{2}$ BC.

Mà AB = BC nên AM = MB = NB = NC.

Xét tam giác CBM vuông ở B và tam giác DCN vuông ở C có:

MB = NC (cmt)

BC = CD (cmt)

Do đó, tam giác CBM và tam giác DCN bằng nhau (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{B M C} = \hat{D N C}$ .

Mà $\hat{B M C} + \hat{M C B} = 90 °$ nên $\hat{D N C} + \hat{M C B} = 90 °$ .

Tam giác CON có:

$\hat{O N C} + \hat{O C N} = 90 °$ (do $\hat{D N C} + \hat{M C B} = 90 °$ ).

Nên $\hat{N O C} = 90 °$ .

Do đó, CM vuông góc với DN tại O.

b) Ta có BC = CD = DA = AB = 4 cm; NC = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ CD = 2 cm hay CD = 2NC.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có:

ND² = NC² + CD² = NC² + (2NC)² = 5NC².

Do đó, $\frac{N C^{2}}{N D^{2}} = \frac{1}{5}$ . Suy ra $\frac{N C}{N D} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Xét tam giác NOC vuông tại O và tam giác CND vuông tại C có:

$\hat{O N C}$ chung

Do đó, ∆ONC ᔕ ∆CND (góc nhọn).

Suy ra $\frac{O N}{C N} = \frac{O C}{C D} = \frac{N C}{N D} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ . Do đó, OC = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ CD; ON = CN.

Vậy diện tích tam giác ONC là:

$S = \frac{1}{2} O C \cdot O N = \frac{1}{2} . \frac{1}{\sqrt{5}} C D \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} C N = \frac{1}{10} \cdot 4 \cdot 2 = 0, 8$ (cm²).

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác