Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

Trang trước Trang sau

Bài 9.49 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;

b) $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90 °$ .

Mà $\hat{B A C} + \hat{P A N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\hat{P A N} = 90 °$ .

Vì MN vuông góc với BC, AH vuông góc với BC nên MN song song với AH hay MP song song với AH.

Do đó, $\hat{P} = \hat{H A B}$ (hai góc đồng vị).

Tam giác ANP vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H có:

$\hat{P} = \hat{H A B}$ (cmt)

Do đó, ∆ANP ᔕ ∆HBA (hai góc nhọn bằng nhau).

Tam giác MCN vuông tại M và tam giác MPB vuông tại M có:

$\hat{C} = \hat{P}$ (cùng phụ với góc B).

Do đó, ∆MCN ᔕ ∆MPB (hai góc nhọn bằng nhau).

Ta có: $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = \frac{M B}{P B} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{M C}$ .

Tam giác PMB có: PM song song với AH nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{M B}{M H} = \frac{P B}{P A}$ hay $\frac{M B}{P B} = \frac{M H}{P A}$ .

Tam giác AHC có: MN song song với AH nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{N C}{N A} = \frac{M C}{M H}$ .

Do đó, $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = \frac{M B}{P B} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{M C}$ $= \frac{M H}{P A} \cdot \frac{M C}{M H} \cdot \frac{P A}{M C} = 1$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác