Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'

Trang trước Trang sau

Bài 9.52 trang 64 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:

a) BC² + 3BA² = 4BM² và B'C'² + 3B'A'² = 4B'M'²;

b) Nếu $\frac{B C}{B M} = \frac{B' C'}{B' M'}$ thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Lời giải:

Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'

a) Vì M là trung điểm của AC nên AC = 2AM. Suy ra AC² = (2AM)² = 4AM².

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có:

BC² = AB² + AC².

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có:

BM² = AB² + AM².

Do đó, 4BM² = 4(AB² + AM²) = 4AB² + 4AM² = 4AB² + AC²

= 3AB² + (AB² + AC²) = 3AB² + BC².

Vậy BC² + 3BA² = 4BM².

Vì M' là trung điểm của A'C' nên A'C' = 2A'M'. Suy ra A'C'² = (2A'M')² = 4A'M'².

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A'B'C' vuông tại A' có:

B'C'² = A'B'² + A'C'².

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác A'B'M' vuông tại A' có:

B'M'² = A'B'² + A'M'².

Do đó, 4B'M'² = 4(A'B'² + A'M'²) = 4A'B'² + 4A'M'² = 4A'B'² + A'C'²

= 3A'B'² + (A'B'² + A'C'²) = 3A'B'² + B'C'².

Vậy B'C'² + 3B'A'² = 4B'M'².

b) Giả sử $\frac{B C}{B M} = \frac{B' C'}{B' M'}$ . Suy ra $\frac{B C^{2}}{B M^{2}} = \frac{B' C'^{2}}{B' M'^{2}}$ (1).

Theo phần a ta có: BC² + 3BA² = 4BM², chia cả 2 vế cho BM², ta được:

$\frac{B C^{2}}{B M^{2}} + 3 \frac{B A^{2}}{B M^{2}} = 4$ .

Tương tự, ta có $\frac{B' C'^{2}}{B' M'^{2}} + 3 \frac{B' A'^{2}}{B' M'^{2}} = 4$ .

Do đó, $\frac{B C^{2}}{B M^{2}} + 3 \frac{B A^{2}}{B M^{2}} = \frac{B' C'^{2}}{B' M'^{2}} + 3 \frac{B' A'^{2}}{B' M'^{2}} (= 4)$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra: $\frac{B A^{2}}{B M^{2}} = \frac{B' A'^{2}}{B' M'^{2}}$ hay $\frac{B A}{B M} = \frac{B' A'}{B' M'}$ .

Do đó, $\frac{B C}{B' C'} = \frac{B M}{B' M'} = \frac{B A}{B' A'}$ .

Hai tam giác ABC vuông tại A và A'B'C' vuông tại A' có $\frac{B C}{B' C'} = \frac{B A}{B' A'}$ .

Vậy ∆ABC ᔕ ∆A'B'C' (ch – cgv).

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác