Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF

Bài 9.48 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;

b) BF . BA + CE . CA = BC².

Lời giải:

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác BDA vuông ở D và tam giác BFC vuông ở F có:

$\hat{A B C}$ chung.

Do đó, ∆BDA ᔕ ∆BFC (góc nhọn). Suy ra $\frac{B D}{B F} = \frac{B A}{B C}$ .

Suy ra $\frac{B D}{B A} = \frac{B F}{B C}$ .

Xét tam giác BDF và tam giác BAC có:

$\frac{B D}{B A} = \frac{B F}{B C}$

$\hat{A B C}$ chung

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆BAC (c.g.c).

Tam giác CDA vuông ở D và tam giác CEB vuông ở E có:

$\hat{A C B}$ chung

Do đó, ∆CDA ᔕ ∆CEB (góc nhọn).

Nên $\frac{C D}{C E} = \frac{C A}{B C}$ .

Suy ra $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{B C}$ .

Tam giác CDE và tam giác CAB có: $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{B C}$

$\hat{A C B}$ chung

Do đó, ∆CDE ᔕ ∆CAB (c.g.c).

Theo chứng minh phần a ta có:

$\frac{B D}{B A} = \frac{B F}{B C}$ nên BF . BA = BD . BC;

$\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{B C}$ nên CE . CA = CD . BC.

Suy ra BF . BA + CE . CA = BD . BC + CD . BC = BC.(BD + CD) = BC . BC = BC².

Vậy BF . BA + CE . CA = BC².

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác