Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H

Bài 9.47 trang 63 SBT Toán lớp 8 Tập : Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;

b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;

c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.

Tam giác AHE vuông ở H và tam giác BHD vuông ở D có:

$\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (góc nhọn).

Suy ra $\frac{A H}{B H} = \frac{H E}{H D}$ nên HA . HD = HB . HE (1).

Tam giác HBF vuông ở F và tam giác HCE vuông ở E có:

$\hat{B H F} = \hat{E H C}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (góc nhọn).

Suy ra $\frac{H B}{H C} = \frac{H F}{H E}$ nên HB . HE = HC . HF (2).

Từ (1) và (2) ta có: HA . HD = HB . HE = HC . HF.

Tam giác AFC vuông ở F và tam giác AEB vuông ở E có:

$\hat{B A C}$ chung.c

Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (góc nhọn)

Suy ra $\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B}$ nên AF . AB = AE . AC.

Vì HA . HD = HB . HE nên $\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$

Tam giác HAB và tam giác HED có:

$\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$ (cmt)

$\hat{A H B} = \hat{E H D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c).

Suy ra $\hat{H A B} = \hat{H E D}$ .

Mà $\hat{H A B} + \hat{F B D} = \hat{H E D} + \hat{D E C}$ (= $90 °$ ).

Do đó, $\hat{F B D} = \hat{D E C}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\hat{B F D} = \hat{E C D}$ .

Tam giác BDF và tam giác EDC có:

$\hat{F B D} = \hat{D E C}$ (cmt)

$\hat{B F D} = \hat{E C D}$ (cmt)

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).

Suy ra: $\hat{B D F} = \hat{E D C}$ .

Mà $\hat{B D F} + \hat{F D H} = \hat{E D C} + \hat{H D E} (= 90 °)$ .

Do đó, $\hat{F D H} = \hat{H D E}$ hay $\hat{F D A} = \hat{A D E}$ .

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác