Cho biểu thức P = [(2x-6)/(x^3-3x^2-x+3)]+(2x^2/1-x^2)-(6/x-3)

Bài tập 6.23 trang 10 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho biểu thức

$P = \frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3}$ (x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1).

a) Rút gọn phân thức $\frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}$ .

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P = a + \frac{b}{x - 3}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}$ $= \frac{2 (x - 3)}{(x^{3} - 3 x^{2}) - (x - 3)}$

$= \frac{2 (x - 3)}{x^{2} (x - 3) - (x - 3)}$ $= \frac{2 (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 1)}$ $= \frac{2}{x^{2} - 1}$

b) $P = \frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3}$

$= \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3}$

$= \frac{- 2}{1 - x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3}$

$= (\frac{- 2}{1 - x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}}) - \frac{6}{x - 3}$

$= \frac{- 2 (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3}$

$= - 2 - \frac{6}{x - 3} = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}$

Do đó, P có thể viết dưới dạng $P = a + \frac{b}{x - 3}$ trong đó a = –2; b = –6.

c) Vì $P = - 2 - \frac{6}{x - 3}$ nên để P là số nguyên thì $\frac{6}{x - 3}$ phải là số nguyên.

Suy ra 6 ⋮ (x – 3) hay (x – 3) ∈ Ư(6).

Khi đó (x – 3) ∈ {1; 2; 3; 6; –1; –2; –3; –6}.

Suy ra x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 1; 0; –3}.

Loại x = 1 vì không thỏa mãn điều kiện x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1.

Vậy x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 0; –3} thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác