Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Góc nội tiếp

Khoảng 2000 năm trước đây, khi các Hoàng để La Mã cai quản đất nước, họ đã cho xây dựng khu giải trí phức hợp, giống như sân vận động cộng đồng lớn, gọi là Nhà hát vòng tròn (h.35). Những nhà hát này được xây ngay ngoài trời với sức chứa lớn (khoảng từ 20 000 đến 50 000 người) và dùng để tổ chức các sự kiện trọng đại của đất nước.

Có khoảng 230 nhà hát vòng tròn được xây dựng vào các thời kì đó. Đến nay, phần lớn trong số đó đã trở thành những di tích, không còn sử dụng. Và hiện nay chỉ có bốn nhà hát được dùng thường xuyên để tổ chức các buổi hòa nhạc.

Thử tìm hiểu xem tại sao một số nhà hát lại thường được thiết kế dạng vòng tròn, chẳng hạn Nhà hát Verona Arena của I-ta-li-a (h.36).

1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về góc nội tiếp

a) Đọc, làm them và trả lời các câu hỏi

Chuẩn bị một hình tròn tâm O bán kính R bằng giấy mỏng. Dùng kéo cắt theo hai dây cung BA, BC (h.37).

Góc ABC có gì đặc biệt về đình?

Số đo của có liên hệ gì với số đo cung nhỏ AC?

b) Đọc kĩ nội dung sau

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Chẳng hạn, ở hình 38, với đường tròn (O) thì là góc nội tiếp, vì đỉnh B thuộc (O) và hai cạnh của góc đó chứa hai dây AB, BC của (O).

Khi đó, ta nói góc nội tiếp ABC chắn cung nhỏ AC. Ta cũng nói cung nằm trong góc ABC là cung bị chắn.

c) Luyện tập, ghi vào vở

- Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ một góc nội tiếp đường tròn (O). Vẽ một góc không phải là góc nội tiếp đường tròn (O).

- Xem hình 39 và cho biết góc nào không phải là góc nội tiếp? Vì sao?

Trả lời:

Trong hình trên góc ABC là góc nội tiếp, góc MNP không phải góc nội tiếp.

Trong hình 39: Chỉ có hình a là góc nội tiếp.

2. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo cung bị chắn.

a) Đọc, làm theo và trả lời các câu hỏi

Xem hình 40 và cho biết:

- Số đo cung nhot AC bằng bao nhiêu?

- Cho biết số đo góc CDA bằng bao nhiêu?

- Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo cung bị chắn

Xem hình 41.

- BOC có phải là tam giác cân không? Vì sao?

Xem hình 42. Đường kính BD chia

- BOA có phải là tam giác cân hay không? Vì sao?

Từ (*), (**), (***) có thể suy ra: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn?

b) Đọc kĩ nội dung sau

Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Chẳng hạn, ở hình 46, là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AC, ta có:

c) Luyện tập, ghi vào vở

- Xem hình 44, đường tròn (O) có DC = CB = BA = CO = OB = OA = OD = R.

Khi đó

d) Đọc kĩ nội dung sau

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau ;

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung, hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau ;

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung ;

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Chẳng hạn, ở hình 44 có:

vì AD là đường kính (hay cung AD là nửa đường tròn)

Trả lời:

Xem hình 42: Đường kính BD chia

Xem hình 43.

Từ (*), (**), (***) có thể suy ra: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

1. Xem hình 45, biết

a) Với đường tròn (O), số đo của bằng bao nhiêu? Vì sao?

b) Với đường tròn (O’), số đo của bằng bao nhiêu? Vì sao?

Bài làm:

2. Xem hình 46. Các điểm A, B, C thuộc đường tròn có PQ là dây cung.

Các góc có bằng nhau không? Vì sao?

Có thể dựa vào điều này để giải thích tại soa người ta hay xây rạp hát có dạng hình tròn? Phải chăng là tạo điều kiện để người xem ngồi ở các vị trí khác nhau nhưng cùng nhìn sân khấu dưới một góc như nhau?

Bài làm:

Dễ thấy: vì cùng là các góc nội tiếp chắn cùng một cung PQ.

Người ta hay xây các rạp hát hình tròn vì để khi người xem ngồi bất kì ở đâu trong rạp hát cũng có thể nhìn sân khấu một góc như nhau và quan sát được toàn bộ buổi biểu diễn.

3. Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là E và F cắt nhau tại hai điểm là A và B. AC và AD tương ứng là các đường kính của (E) và (F). Chứng minh rằng AB là đường cao của tam giác ACD.

Bài làm:

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒ AB ⊥ BC; AB ⊥ BD ⇒ B ∈ CD; AB ⊥ CD (Qua một điểm chỉ có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đoạn thằng cho trước)

Vậy AB là đường cao của tam giác ACD.

4. Đường tròn bằng nhau có tâm tương ứng là I và J cắt nhau tại hai điểm H và G. Đường thẳng d đi qua điểm G cắt (I) tại K và cắt (J) tại L (khác với điểm G). Chứng minh rằng HK = HL.

Bài làm:

Vì (I) và (J) là hai đường tròn bằng nhau nên: cung nhỏ HG của (I) = cung nhỏ HG của (J).

⇒ (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).

⇒ △HKL cân tại H ⇒ HK = HL (đpcm)

1. Bạn Hoàng đã vẽ một đường tròn bằng compa nhưng quên đánh dấu tâm. Chỉ bằng ê ke ta có thể xác định được tâm của đường tròn đã vẽ đó không? Nếu được, hãy nêu rõ cách làm.

Có thể áp dụng cách làm trên để xác định tâm của một vật hình tròn, như nắp hộp (h.47),… hay không?

Bài làm:

Ta có thể dùng ê ke để xác định tâm của đường tròn như sau:

Bước 1: Đặt ê kê sao cho đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn tại điểm M, cạnh huyền cắt đường tròn tại hai điểm A và B

Bước 2: Xác định trung điểm O của AB, đây chính là tâm đường tròn.

Chứng minh:

Theo tính chất của góc nội tiếp: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Theo cách vẽ, góc AMB là góc vuông do đó chắn nửa đường tròn, hay AB là đường kính của đường tròn.

⇒ Trung điểm O của AB là tâm của đường tròn.

2. Hình 48 mô tả một chiếc cầu bắc qua sông, có thành cầu bằng thép uốn cong như một cung tròn mà mặt cầu như một dây căng cung đó. Biết cầu đó có độ dài XY = 140m, chiều cao thành cầu MN = 10m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung nhỏ XY.

Bài làm:

Dễ thấy: N là trung điểm của XY: XN = XY = 70(m); M là điểm chính giữa cung MN.

Lại có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác XMN vuông tại N: XM² = MN² + XN² = 10² + 70² = 5000

Xét △PMX và △MXN là các tam giác vuông tại X và N có:

(góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 5: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
• Bài 6: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
• Bài 7: Luyện tập về góc nội tiếp - góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn
• Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sách bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán