Giải Toán 9 VNEN Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

a) Vẽ rồi cắt một hình tròn bằng giấy mỏng, sau đó vẽ hai dây cung là EF = GH (h.12). Dùng kéo cắt rời theo từng dây cung đó. Dùng các mảnh được cắt rời ra để so sánh hai cung vừa được cắt ra (xem chúng có trùng khít lên nhau không).

b) Chuẩn bị một hình tròn bằng giấy mỏng. Dùng kéo cắt theo hai dây cung AB và CD không bằng nhau (h.13). Dùng các mảnh được cắt rời ra để so sánh và cho biết hai cung vừa được cắt rời đó có bằng nhau không?

Trả lời:

Các em tiến hành cắt hình theo hướng dẫn

a) Hai cung vừa cắt ra trùng khít lên nhau

b) Hai cung vừa được cắt rời không bằng nhau.

1. Thực hiện các hoạt động sau để liên hệ giữa dây và cung

a) Vẽ hình và làm theo hướng dẫn

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ hai dây AB, CD sao cho AB = CD. Nói OA, OB, OC, OD (h.14).

Chứng tỏ rằng OAB và OCD là hai tam giác bằng nhau (c.c.c)

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. Lấy 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn sao cho Nối OA, OB, OC, OD, AB, CD. Chứng tỏ rằng OAB và OCD là hai tam giác bằng nhau (c.g.c). Từ đó suy ra AB = CD.

Như vậy, từ hai cung nhỏ có thể suy ra hai dây AB = CD.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay trong hai đường tròn bằng nhau):

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau;

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Chẳng hạn,ở hình 14, với đường tròn (O), nếu AB = CD thì và ngược lại, nếu

c) Luyện tập ghi vào vở

- Xem hình 15.

Do AB = CD = R nê hai cung nhỏ

Hai cung nhỏ có bằng nhau không? Vì sao?

Trả lời:

c)

Hình 15: cung nhỏ AB = cung nhỏ CD vì AB = BC = R

Hình 16:

2. Thực hiện các hoạt động sau để so sánh hai cung bị chắn bằng cách so sánh hai dây tương ứng và ngược lại

a) Vẽ hình và làm theo hướng dẫn

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ hai dây AB và CD, sao cho AB > CD (h.17). Nối OA, OB, OC, OD.

Ta nói: Dây AB căng

Dùng thước đo góc, chứng tỏ rằng Khi đó có thể kết luận hay không?

Như vậy, từ

b) Đọc kĩ nội dung sau

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay trong hai đường tròn bằng nhau):

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn;

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Chẳng hạn, ở hình 17, với đường tròn (O), nếu và ngược lại, nếu

c) Luyện tập, ghi vào vở

- Xem hình 18 và cho biết trong hai cung nhỏ cung nào lớn hơn? Vì sao?

Nếu biết thì có thể suy ra PQ > RS không? Vì sao?

- Xem hình 19 và cho biết trong hai dây cung PQ và QR dây nào dài hơn? Vì sao?

1. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 3cm.

a) Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60°. Cho biết độ dài đoạn AB.

(Gợi ý: Vẽ tam giác đều cạnh R).

b) Nêu cách vẽ cung có số đo bằng 90°. Cho biết độ dài đoạn MN.

(Gợi ý: Vẽ tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông bằng R, đỉnh góc vuông là tâm đường tròn).

c) Nêu cách vẽ cung RS có số đo bằng 30°.

(Gợi ý: Có nhiều cách vẽ, chẳng hạn, do 30° = 90° – 60° nên từ cách vẽ ở ý a) và b)suy ra cách vẽ ở ý c)).

Bài làm:

a) Vẽ tam giác OAB đều cạnh R (A, B nằm trên đường tròn):

Bước 1: Vẽ bán kính OA bất kì.

Bước 2: Dùng thước đo góc xác định góc (B nằm trên đường tròn)

Bước 3: Nối AB, ta được tam giác ABO đều. (tam giác cân có một góc bằng 60°

Chứng minh sđ AB = 60°:

Theo cách vẽ △ABO là tam giác đều

b) Vẽ tam giác vuông cân MON tại O:

Bước 1: Vẽ bán kính OM bất kì.

Bước 2: Vẽ

Tương tự, ta cũng suy ra được sđ MN = 90°

c) Vẽ tam giác ORS cân tại

Bước 1: Vẽ bán kính OR bất kì.

Bước 2: Dùng thước đo góc, vẽ góc

Tương tự trên, ta có thể suy ra sđ RS = 30°.

2. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

a) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 4 cung có độ dài bằng nhau, như hình 20?

(Gợi ý: Có thể dựa vào ý b) ở Bài 1).

b) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 6cung có độ dài bằng nhau, như hình 21?

(Gợi ý: Có thể dựa vào ý a) ở Bài 1).

c) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 6cung có độ dài bằng nhau, như hình 22?

(Gợi ý: Do 30°.12 = 360° nên có thể dựa vào ý c) ở Bài 1).

Bài làm:

a) Vẽ hai đường kính JL và KI vuông góc với nhau, các điểm I, J, K, L chia hình tròn thành 4 cung tròn bằng nhau như hình 20.

b) Bước 1: Dùng compa xác định đoạn thẳng có độ dài bằng bán kính đường tròn.

Bước 2: Giữ nguyên độ mở của compa, lấy 1 điểm bất kì trên đường tròn, vẽ các cung tròn mới liên tiếp có bán kính R cắt cung tròn cũ tại 6 điểm ta được hình 21.

c) Dựa theo cách làm ý c bài 1, ta xác định các cung liên tiếp có số đo bằng 30°

3. Chứng minh rằng: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Gợi ý: Xét từng trường hợp, khi hai dây song song và nằm khắc phía với tâm; khi hai dây song song và nằm cùng phía với tâm đường tròn.

Bài làm:

TH1: Hai dây song song và nằm cùng phía với tâm đường tròn:

Ta cần chứng minh: cung AC = cung BD

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của CD với OA và OB.

Tam giác ODC cân tại O nên

MNAB là hình thang cân

Từ (1) và (2), tam giác OND và tam giác OMC đồng dạng (g.g)

TH2: Khi hai đường thẳng AB và CD nằm khác phía so với O

Kẻ OI ⊥ AB; OK ⊥ CD như hình vẽ.

Do AB // CD nên I, O, K thẳng hàng.

Các tam giác OAB và OCD cân tại O có OI và OK lần lượt là đường cao nên đồng thời là đường phân giác.

Từ (1) (2) và (*) ta có hay cung AC = cung BD

4. Chứng minh rằng: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

(Gợi ý: Dựa vào tính chất tam giác cân).

Bài làm:

Giả sử, M là điểm chính giữa cung AB, ta cần chứng minh I là trung điểm của AB

⇒ cung AM = cung MB ⇒ AM = MB (Mối liên hệ giữa cung và dây cung) (1)

Lại có OA = OB = R (2)

Từ (1) và (2) ta có O và M cách đều hai điểm A và B

⇒ OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

⇒ AI = IB (I là giao điểm của OM và AB) hay I là trung điểm của AB

5. Chứng minh rằng: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung không là nửa đường tròn thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung do dây đó căng.

Bài làm:

Chiều thuận: Xem câu 4

Chiều nghịch: Đường kính đi vuông góc với một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung do dây đó căng.

Giả sử, đường kính OM vuông góc với dây cung AB và cắt đường tròn tại M. Ta cần chứng minh M là điểm chính giữa của cung AB.

Xét tam giác OAB cân tại O có OI là đường cao

⇒ OI là trung tuyến của tam giác OAB hay I là trung điểm của AB.

Xét tam giác MAB có MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến kẻ từ M nên tam giác MAB cân tại M

⇒ MA = MB ⇒ cung MA = cung MB (đpcm)

6. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Gọi (O) là đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC. Gọi T là giao điểm của ON và AB, biết T thuộc đoạn BP.

a) So sánh hai cung nhỏ

b) Chứng minh rằng OM > OP.

Bài làm:

a) Ta có: N là trung điểm của AC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó)

⇒ ON đi qua điểm chính giữa cung AC.

Theo đề bài, A và B nằm ở hai phía của đường thẳng ON

⇒ AB > BC ⇒ cung nhỏ AB > cung nhỏ BC (mối liên hệ giữa dây và cung).

b)

Ta có: N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC.

Theo bài 5, ⇒ OP ⊥ AB; OM ⊥ BC; ON ⊥ AC

Xét các tam giác BOP và BOM vuông tại P và M:

OP² = BO² − BP² = R² − BP² (Định lý Pytago)

OM² = BO² − BM² = R² − BM² (Định lý Pytago)

1. Hãy chia đường viền của một chiếc đồng hồ có dạng hình tròn thành 12 phần bằng nhau, để gắc các số chỉ giờ (h.23).

Bài làm:

Xem ý c) bài 2 ở trên

2. Để tiết kiệm không gian nhiều khi ta phải thiết kế cầu thang dạng cuốn tròn (h.24). Em hãy tìm hiểu cách thiết kế một cầu thang dạng cuốn tròn nếu diện tích mặt bằng cho phép chỉ là một hình vuông có cạnh 1m?

Hướng dẫn: Để vừa bước chân, thông thường người ta thiết kế khoảng cách giữa hai bậc cầu thang là 15cm. Biết rằng người cao nhất trong nhà khoảng 1,70m. Theo đó, để đứng thẳng mà đầu không bị va chạm thì khoảng cách từ chân người đến bậc thang ở đỉnh đầu tối thiểu phải bằng 1,80m. Với khonagr cách 15m một bậc thì để đảm bảo chiều cao 1,80m phải có 12 bậc. Nếu xem mỗi bậc như một góc ở tâm thì ta cần chia hình tròn thành 12 góc ở tâm bằng nhau.

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 1: Góc ở tâm - số đo cung
• Bài 3: Luyện tập về góc ở tâm - số đo cung - Liên hệ giữa cung và dây
• Bài 4: Góc nội tiếp
• Bài 5: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sách bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

---