Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để thực hiện các biến đổi sau

Cho phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax² + bx = ……….

- Chia hai vế cho hệ số a (a ≠ 0):

Thêm vào hai vế để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

Ta được:

Kí hiệu ∆ = b² - 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình (1) (∆ là một chữ cái Hi Lạp, đọc là “denta”).

b) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để xét các trường hợp của biệt thức

- Nếu ∆ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra:

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x₁ = … ; x₂ = …

- Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra:

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: x = ……….

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì …………..

c) Đọc kĩ nội dung sau

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b² - 4ac:

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

i) 2x² + x – 6 = 0;

- Tính ∆ = b² - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 2; b = 1; c = -6.

∆ = 1² - 4.2.(-6) = 1 + 48 = 49 > 0

- Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm,phương trình có hai nghiệm phân biệt:

ii) y² – 8y + 16 = 0

- Tính ∆ = b² - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 1, b = -8, c = 16.

∆ = (-8)² - 4.1.16 = 0

- Do ∆ = 0 nên phương trình có nghiệm kép:

iii) 3z² + 5z + 4 = 0

- Tính ∆ = b² - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 3; b = 5; c = 4.

∆ = 5² - 4.3.4 = -23 < 0

- Do < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Giải các phương trình sau

i) 6x² + x – 5 = 0

ii) x² – 6x + 9 = 0

iii) 6x² – x + 5 = 0

Hãy nhận xét về dấu của hai hệ số a và c trong phương trình 6x² + x – 5 = 0. Dấu của hai hệ số a và c đó có liên quan gì tới dấu của biệt thức?

Em hãy rút ra nhận xét về số nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp như vậy.

e) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dâu, tức là ac < 0 thì ∆ = b² - 4ac > 0. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax² + bx = −c

Chia hai vế của hệ cho hệ số a (a ≠ 0):

Tách hạng tử

Thêm vào hai vế để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

b)

• Nếu Δ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra:

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm

• Nếu Δ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra:

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép:

• Nếu Δ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì (vô lý)

c)

i) 6x² + x – 5 = 0

Δ = 1² − 4×6×(−5) = 121 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

ii) x² − 6x + 9 = 0

Δ = (−6)² − 4×1×9 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép:

iii) 6x² − x + 5 = 0

Δ = (−1)² − 4×6×5 = −119 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Dấu của hệ số a và c trong phương trình 6x² + x − 5 = 0 là trái dấu.

Khi a và c trái dấu thì biệt thức Δ > 0, và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

1. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

Bài làm:

a) x² − 10x + 27 = 0

Δ = b² − 4ac = (−10)² − 4×1×27 = −8 < 0

Vậy, phương trình có 0 nghiệm.

b) − 0,5x² − 3,5x + 2,5 = 0

Δ = b² − 4ac = (−3,5)² − 4×(−0,5)×2,5 = 17,25 > 0

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

 a) 2x² – 7x + 6 = 0

 b) 3x² – 5x + 7 = 0

 c) 0,2x² + 0,4x – 7 = 0

 d) -3x² + 5x – 2 = 0

 e) y² – 14y + 49 = 0

 g) t² – 5t + 3 = 0

Bài làm:

Giải phương trình bậc hai một ẩn trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS

Công cụ EQN (Equation) trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS giúp chúng ta giải phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta thực hiện như sau:

- Ấn phím MODE, màn hình máy tính sẽ hiện ra các dòng:

- Chọn phím 5 để giải các phương trình bậc hai, bậc ba và hệ phương trình. Khi đó, màn hình sẽ hiện ra các dòng:

- Đề giải phương trình bậc hai một ẩn ta ấn phím 3, sau đó nhập lần lượt các hệ số của phương trình cùng phím = : a = b = c =.

Ví dụ 1. Giải phương trình 73x² – 47x – 25460 = 0.

Ta ấn các phím như sau:

MODE → 5 → 3 → 7 3 = - 47 = -25460 =

Kết quả x₁ = 19; x₂ =

Nếu ấn tiếp phím S ⇔ D thì ta được kết quả -18,3562;

Ấn tiếp SHIFT S ⇔ D thì ta được

Ví dụ 2. Giải phương trình x² + 2x + 4 = 0.

Vẫn trong môi trường giải phương trình bậc hai một ẩn, ta nhập:

   1 = 2 = 4 =

Kết quả

Đây là nghiệm phức, ta sẽ được học trong chương trình trung học phổ thông.

Ta kết luận: Phương trình không có nghiệm thực, hay phương trình vô nghiệm.

1. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép?

Tìm nghiệm kép đó

 a) x² – mx + 1 = 0

 b) 3x² + mx + 12 = 0

Bài làm:

a) x² – mx + 1 = 0

Δ = (−m)² − 4×1×1 = m² − 4

Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m² − 4 = 0 ⇒ m = ± 2

Nghiệm kép đó là:

b) 3x² + mx + 12 = 0

Δ = m² − 4×3×12 = m² − 144

Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m² − 144 = 0 ⇒ m = ± 12

Nghiệm kép đó là:

2. Với giá trị nào của k thì mỗi phương trình sau vô nghiệm?

 a) 2x² + kx + 1 = 0

 b) 5x² + 10x + k = 0

Bài làm:

a) 2x² + kx + 1 = 0

Δ = k² − 4×2×1 = k² − 8

Để phương trình vô nghiệm thì:

hay

b) 5x² + 10x + k = 0

Δ = 10² − 4×5×k = 100 − 20k

Để phương trình vô nghiệm thì: Δ = 100− 20k < 0 ⇒ k > 5

3. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Khi đó, hãy tính nghiệm của phương trình theo m.

 a) 4x² + mx – 7 = 0

 b) 2x² + 3x + m – 1 = 0

Bài làm:

a) 4x² + mx − 7 = 0

Δ = m² − 4×4×(−7) = m² + 112

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = m² + 112 > 0 (đúng với mọi giá trị của m)

Hai nghiệm đó là:

b) 2x² + 3x + m − 1 = 0

Δ = 3² − 4×2×(m − 1) = 1 − m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = 1 − m > 0 ⇒ m < 1

Hai nghiệm đó là:

4. Em có biết?

Vào năm 628 sau Công Nguyê, Bra-ma-gup-ta (Brahmagupta), một nhà toán học Ấn Độ đã đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai ax² + bx = c. Sau đó, vào thế kỉ IX, nhà bác học An Khô-va-ri-zmi (Al-Khowarizmi) ở thành Bát-đa (Baghdad – Thủ đô nước I-rắc ngày nay) cũng tìm được công thức này bằng phương pháp tách ra một bình phương nhờ một minh họa hình học. Chẳng hạn, để giải phương trình x² + 10x = 39, ông đã biến vế trái thành một bình phương như minh họa trên hình 14.

Hình vẽ này cho thấy, nếu cộng vào hai vế của phương trình thì vế trái bằng hay (x + 5)² và là diện tích của hình vuông có cạnh bằng x + 5, còn vế phải bằng 39 + 25 = 64. Tính cạnh là x + 5, ta sẽ tìm được x.

(Trang 46, Sách giáo khoa Toán 9 tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam,2016)

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
• Bài 5: Luyện tập
• Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng
• Bài 7: Luyện tập

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sách bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán