Bài 22 trang 168 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 22 trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Từ một hình nón, người thợ tiện có thể tiện ra một hình trụ cao nhưng hẹp hoặc một hình trụ rộng như thấp. Trong trường hợp nào thì người thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn?

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao hình nón là h, bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao phần hình nón cắt đi là BE = x

Vì MN // AC, theo hệ quả định lí Ta – lét ta có: $\frac{M E}{A D} = \frac{B E}{B D}$ => $\frac{r}{R} = \frac{x}{h}$ => $r = \frac{R x}{h}$

Thể tích hình trụ là: V = πr²(h - x) = $π {(\frac{R x}{h})}^{2} . (h - x)$ = $π . \frac{R^{2} x^{2}}{h^{2}} (h - x)$

Phần bỏ đi của hình nón ít nhất có nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất:

V = $π . \frac{R^{2} x^{2}}{h^{2}} (h - x)$ => 2Vh² = πR²x²(2h - 2x) => $\frac{2 V h^{2}}{π R^{2}}$ = x²(2h - 2x)

Vì π, R, h là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi x²(2h - 2x) lớn nhất

Ta có: x²(2h - 2x) = x.x.(2h - 2x)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, x và 2h – 2x ta có:

$\sqrt[3]{x . x . (2 h - 2 x)} \leq \frac{x + x + 2 h - 2 x}{3} = \frac{2 h}{3}$

=> x.x.(2h - 2x) ≤ $\frac{8 h^{3}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi x = 2h - 2x => x = $\frac{2}{3}$ h

Vậy khi cắt bỏ ở phía trên hình nón có chiều cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-2-hinh-non-hinh-non-cut-dien-tich-xung-quanh-va-the-tich-cua-hinh-non-hinh-non-cut.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác