Bài 25 trang 169 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 25 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi V₁, V₂, V₃ theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC , AB và AC. Chứng minh rằng: $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}}$

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h với AH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: ah = bc => h = $\frac{b c}{a}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh huyền BC thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao hai hình nón bằng cạnh huyền BC

Thể tích của hai hình nón là:

V₁ = $\frac{1}{3}$ πAH².HB + $\frac{1}{3}$ πAH².HC = $\frac{1}{3}$ πAH².BC = $\frac{1}{3} π {(\frac{b c}{a})}^{2} a = \frac{π b^{2} c^{2}}{3 a}$

=> $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{π b^{2} c^{2}}{3 a})}^{2}} = \frac{9 a^{2}}{π^{2} b^{4} c^{4}}$ (1)

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB thì ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b

Thể tích hình nón: V₂ = $\frac{1}{3}$ πAC².AB = $\frac{1}{3}$ πb².c

=> $\frac{1}{{V_{2}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{3} π b^{2} c)}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC thì ta thu được hình nón có chiều cao AC = b, bán kính đáy AB = c

Thể tích hình nón là: V₃ = $\frac{1}{3}$ πAB².AC = $\frac{1}{3}$ πc².b

=> $\frac{1}{{V_{3}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{3} π c^{2} b)}^{2}} = \frac{9}{π^{2} c^{4} b^{2}}$

Ta có: $\frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}} + \frac{9}{π^{2} c^{4} b^{2}} = \frac{9 (b^{2} + c^{2})}{π^{2} b^{4} c^{4}}$ (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB² + AC² = BC² => c² + b² = a² (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}}$

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-2-hinh-non-hinh-non-cut-dien-tich-xung-quanh-va-the-tich-cua-hinh-non-hinh-non-cut.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác