Chứng minh rằng, với mọi n thuộc N sao

Thực hành 5 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi n∈ ℕ*, ta có

$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n} = 0 .$

Lời giải:

Xét khai triển:

(1 + x)ⁿ $= C_{n}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} x + C_{n}^{2} 1^{n - 2} x^{2} + C_{n}^{3} 1^{n - 3} x^{3} + \dots + C_{n}^{n} x^{n}$

$= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + C_{n}^{3} x^{3} + \dots + C_{n}^{n} x^{n} .$

Thay x = –1 ta được:

(1 – 1)ⁿ $= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} (- 1) + C_{n}^{2} {(- 1)}^{2} + C_{n}^{3} {(- 1)}^{3} + \dots + C_{n}^{n} {(- 1)}^{n}$

$= C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$

$\Rightarrow C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - C_{n}^{3} + \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n} = 0 .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học