Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O):

– Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau.

– Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C, khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và C là tiếp điểm.

– Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O), a là cát tuyến của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm.

Nhận xét 1:

1) Cho đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hình vẽ). Ta có kết quả sau:

⦁ Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi d > R.

⦁ Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi d = R.

⦁ Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi d < R.

2) Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH ⊥ a.

Nhận xét 2: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	2	d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	1	d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	d > R

2. Ví dụ minh họa vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Ví dụ 1. Cho đường thẳng m và một điểm A cách m một khoảng d = 3 cm. Xác định vị trí tương đối của m với các đường tròn sau:

a) Đường tròn (A; 2 cm).

b) Đường tròn (A; 3 cm).

c) Đường tròn (A; 5 cm).

Hướng dẫn giải

a) Ta có d = 3 cm, R = 2 cm.

Vì d > R nên m và đường tròn (A; 2 cm) không giao nhau.

b) Ta có d = 3 cm, R = 3 cm.

Vì d = R nên m và đường tròn (A; 3 cm) tiếp xúc nhau.

c) Ta có d = 3 cm, R = 5 cm.

Vì d < R nên m và đường tròn (A; 5 cm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 8 cm. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 10 cm.

a) Giải thích vì sao a và (O) cắt nhau.

b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; 10 cm). Tính độ dài của dây MN.

Hướng dẫn giải

a) Kẻ OH ⊥ a tại H.

Ta có OH = 8 cm, R = 10 cm. Suy ra OH < R.

Vậy a cắt (O; 10 cm) tại hai điểm phân biệt.

b) Vì M, N thuộc (O) nên ta có OM = ON = R.

Suy ra tam giác OMN cân tại O có OH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

Do đó H là trung điểm của dây MN.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OMH vuông tại H, ta được

$MH=\sqrt{O{M}^2-O{H}^2}=\sqrt{{10}^2-8^2}=6\left(cm\right)$

Vậy MN = 2MH = 2.6 = 12 (cm)

Ví dụ 3. Cho bốn điểm O, A, B, C thẳng hàng như hình vẽ. Giả sử đường thẳng m đi qua B và vuông góc với đường thẳng OC. Nêu vị trí tương đối của đường thẳng m và ba đường tròn cùng tâm O lần lượt đi qua các điểm A, B, C.

Hướng dẫn giải

Đặt OB = d. Khi đó d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng m.

– Vì OA < OB và OB = d nên OA < d.

Do đó đường thẳng m và đường tròn (O; OA) không giao nhau.

– Vì OB = d nên đường thẳng m và đường tròn (O; OB) tiếp xúc nhau.

– Vì OC > OB và OB = d nên OC > d.

Do đó đường thẳng m và đường tròn (O; OC) cắt nhau.

3. Bài tập vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 1. Cho đường tròn (I; 9 cm) và đường thẳng n. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ I xuống n và d là độ dài đoạn thẳng IE. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng n và đường tròn (I; 9 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 7 cm.

b) d = 9 cm.

c) d = 13 cm.

Bài 2. Cho điểm O và đường thẳng k thỏa mãn khoảng cách từ O đến đường thẳng k bằng 12 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng k và các đường tròn (O; 10 cm), (O; 12 cm), (O; 14 cm).

Bài 3. Đồng hồ treo tường trang trí ở hình bên gợi nên vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Quan sát hình vẽ và chỉ ra một hình ảnh đường thẳng và đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Tiếp xúc nhau;

c) Không giao nhau.

Bài 4. Trong hình vẽ bên, mép ngoài cửa ra vào có dạng một phần của đường tròn bán kính 1,6 m. Hãy tính chiều cao HK của cửa đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết AH = 0,9 m.

Bài 5. Hãy chỉ ra một số hiện tượng trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường thẳng và đường tròn:

a) cắt nhau.

b) tiếp xúc nhau.

c) không giao nhau.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tiếp tuyến của đường tròn là gì

• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

• Hai đường tròn cắt nhau là gì

• Hai đường tròn tiếp xúc nhau là gì

• Hai đường tròn không giao nhau là gì

• Cách nhận biết hàm số y = ax²(a ≠ 0)

---