Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M thì:

⦁ Điểm M cách đều hai tiếp điểm;

⦁ MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

⦁ OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Ví dụ 1. Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O; R) (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OM ⊥ AB.

b) Tính MA và MB, biết R = 3 cm và MO = 5 cm.

Hướng dẫn giải

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}.$

Tam giác AOB cân tại O (vì OA = OB = R) có OM là đường phân giác.

Suy ra OM cũng là đường cao của tam giác AOB.

Vậy OM ⊥ AB.

b) Tam giác OAM có $\widehat{OAM}=90°$ (do MA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A) và OA = R = 3 cm, OM = 5 cm (gt).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAM vuông tại A, ta được:

AM² + OA² = OM².

Từ đó suy ra AM² = OM² – OA² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16.

Khi đó AM = 4 (cm)

Vậy theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có BM = AM = 4 cm.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của x trong hình vẽ bên.

Hướng dẫn giải

Ta có BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B.

Suy ra BA = BC hay 4x – 9 = 15.

Do đó 4x = 24.

Vậy x = 6.

Ví dụ 3. Trong hình vẽ bên, MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C và $\widehat{COB}=130°.$ Tính số đo $\widehat{CMB}.$

Hướng dẫn giải

Vì MB, MC lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C nên MB ⊥ OB, MC ⊥ OC hay $\widehat{MBO}=90°,\widehat{MCO}=90°.$

Xét tứ giác OBMC có: $\widehat{MCO}+\widehat{COB}+\widehat{MBO}+\widehat{CMB}=360°$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat{CMB}=360°-\left(\widehat{MCO}+\widehat{COB}+\widehat{MBO}\right)$

Do đó $\widehat{CMB}=360°-\left(90°+130°+90°\right)=50°.$

Vậy $\widehat{CMB}=50°.$

3. Bài tập về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 1. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết $\widehat{EMF}=60°.$

a) Tính số đo $\widehat{EMI}$ và $\widehat{EIF}.$

b) Tính độ dài MI.

Bài 2. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C.

a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Chứng minh AB = AC.

c) Xác định tia phân giác của $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC.}$

Bài 3. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).

Bài 4. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.

Bài 5. Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (hình vẽ). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo $\widehat{AMB}$ tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo $\widehat{AOB}$ (kết quả làm tròn đến phút).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

• Hai đường tròn cắt nhau là gì

• Hai đường tròn tiếp xúc nhau là gì

• Hai đường tròn không giao nhau là gì

• Cách nhận biết hàm số y = ax²(a ≠ 0)

• Phương trình bậc hai một ẩn là gì

---