Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì.

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn α. Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=\alpha$ (Hình 3).

⦁ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Bốn tỉ số trên được gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn α.

Trong Hình 3, ta có:

$\sin \widehat{B}=\frac{AC}{BC};\cos \widehat{B}=\frac{AB}{BC};$

$\tan \widehat{B}=\frac{AC}{AB};\cot \widehat{B}=\frac{AB}{AC}.$

Nhận xét:

– Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông có góc nhọn α. Thật vậy, nếu hai tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A, A’ và có $\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\alpha$ thì ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’, suy ra

$\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

⦁ Khi không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết sinB, cosB, tanB, cotB lần lượt thay cho các kí hiệu $\sin \widehat{B},\cos \widehat{B},\tan \widehat{B},\cot \widehat{B}.$

⦁ Từ định nghĩa trên, ta thấy các tỉ số lượng giác của góc nhọn α luôn dương và sinα < 1, cosα < 1, $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }.$

2. Ví dụ minh họa về tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 6² + 8² = 10² (cùng bằng 100).

Suy ra AB² + AC² = BC².

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta được tam giác BC vuông tại A.

b) Tam giác ABC vuông tại A, có:

⦁ $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$

⦁ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

⦁ $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

⦁ $\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Ví dụ 2. Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có $\widehat{B}=90°$ trong hình vẽ bên.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B (vì $\widehat{B}=90°$), ta được:

BC² + BA² = AC².

Suy ra BC² = AC² – BA² = 3² – 2² = 9 – 4 = 5.

Do đó $BC=\sqrt{5}.$

Tam giác ABC vuông tại B, có:

⦁ $\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

⦁ $\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}.$

⦁ $\tan B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

⦁ $\cot B=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O (hình vẽ).

a) Tỉ số $\frac{OA}{OD}$ là tan của góc nhọn nào? Tỉ số $\frac{OD}{OC}$ là côtang của góc nhọn nào?

b) Viết tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn sau: $\sin \widehat{OBC},\cos \widehat{OBA}.$

Hướng dẫn giải

Hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O nên AC ⊥ BD tại O.

a) ⦁ Vì tam giác OAD vuông tại O nên $\frac{OA}{OD}=\tan \widehat{ODA}.$

⦁ Vì tam giác OCD vuông tại O nên $\frac{OD}{OC}=\cot \widehat{ODC}.$

b) ⦁ Vì tam giác OBC vuông tại O nên $\sin \widehat{OBC}=\frac{OC}{BC}.$

⦁ Vì tam giác OAB vuông tại O nên $\cos \widehat{OBA}=\frac{OB}{AB}.$

3. Bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 2 dm, AC = 4 dm.

b) AC = 9 cm, BC = 12 cm.

Bài 2. Tam giác ABC đều có cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{CAH}.$

Bài 3. Cho tam giác MNP vuông cân tại M có MN = $a\sqrt{2}.$ Tính các tỉ số lượng giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}.$

Bài 4. Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 10 cm và $2\sqrt{11}$ cm. Tính côsin của góc giữa đường chéo và chiều dài của hình chữ nhật.

Bài 5. Một cái thang dài 12 m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 7 m (hình vẽ). Tính góc α tạo bởi thang và tường.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cách nhận biết căn thức bậc ba

• Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

• Đường tròn là gì

• Tính đối xứng của đường tròn

• Tâm đối xứng của đường tròn là gì?

• Trục đối xứng của đường tròn là gì?

---