Công thức tính diện tích hình viên phân lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Công thức tính diện tích hình viên phân lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Công thức tính diện tích hình viên phân.

1. Diện tích hình viên phân

Cho hình viên phân giới hạn bởi cung AB có số đo n° và dây AB (phần tô màu trên hình vẽ).

Gọi S, S_q, S_t lần lượt là diện tích hình viên phân; diện tích hình quạt ứng với cung đó và diện tích hình tam giác OAB.

Khi đó ta có $S=S_q-S_t=\frac{n}{360}\pi R^2-\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=\frac{n}{360}\pi R^2-\frac{1}{2}{R}^2.\sin n°$

                                       $=R^2\left(\frac{n\pi }{360}-\frac{1}{2}\sin n°\right).$

2. Ví dụ minh họa về diện tích hình viên phân

Ví dụ 1. Tính diện tích hình viên phân (phần tô màu xanh) ở hình vẽ bên dưới là phần hình tròn được giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB sao cho OA ⊥ OB và bán kính đường tròn là 3 cm.

Hướng dẫn giải

Vì OA ⊥ OB (gt) nên ta có góc ở tâm $\widehat{AOB}=90°.$

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$S=R^2\left(\frac{n\pi }{360}-\frac{1}{2}\sin n°\right)=3^2\left(\frac{90\pi }{360}-\frac{1}{2}.\sin 90°\right)=9\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right)\approx 2,57\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình viên phân cần tìm bằng khoảng 2,57 cm².

Ví dụ 2. Tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm $\widehat{AOB}=60°$ và bán kính đường tròn là 7,2 cm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm²).

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = 7,2 cm) và $\widehat{AOB}=60°$ (gt)

Suy ra tam giác OAB đều.

Diện tích tam giác OAB là: $S_{\Delta OAB}=\frac{O{A}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{7,2^2.\sqrt{3}}{4}\approx 22,45\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình quạt tròn OAmB là: $S_{OAmB}=\frac{60}{360}\pi .7,2^2\approx 27,14\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình viên phân cần tìm là: S = S_OAmB – S_∆OAB ≈ 27,14 – 22,45 = 4,69 (cm²)

Vậy diện tích hình viên phân cần tìm bằng khoảng 4,69 cm².

Ví dụ 3. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung có số đo là 95° (hình vẽ).

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ. Kẻ OH ⊥ AB.

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH đồng thời là đường phân giác và đường trung tuyến của tam giác.

Khi đó $\widehat{AOH}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.95°=47,5°$ và H là trung điểm của AB hay $AH=\frac{AB}{2}=\frac{55}{2}=27,5\left(cm\right)$

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

$AH=OA.\sin \widehat{AOH}.$ Suy ra $OA=\frac{AH}{\sin \widehat{AOH}}=\frac{27,5}{\sin 47,5°}\approx 37,3\left(cm\right)$

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$S=R^2\left(\frac{n\pi }{360}-\frac{1}{2}\sin n°\right)=O{A}^2\left(\frac{95\pi }{360}-\frac{1}{2}\sin 95°\right)=37,3^2\left(\frac{95\pi }{360}-\frac{1}{2}\sin 95°\right)\approx 460,43\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình viên phân cần tìm bằng khoảng 460,43 cm².

3. Bài tập về diện tích hình viên phân

Bài 1. Tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm $\widehat{AOB}=120°$ và bán kính đường tròn là 5 dm.

Bài 2. Tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm $\widehat{AOB}=80°$ và độ dài cung tròn là 18π cm.

Bài 3. Người ta làm một họa tiết trang trí bằng cách ghép hai hình viên phân bằng nhau (Hình 78), mỗi hình viên phân đó có góc ở tâm tương ứng là 90° và bán kính đường tròn tương ứng là 2 dm (Hình 79). Tính diện tích của họa tiết trang trí đó (theo đơn vị decimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bài 4. Logo ở Hình 95 có dạng một hình quạt tròn bán kính 8 cm và góc ở tâm bằng 60°. Tính diện tích mỗi hình sau (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

a) Toàn bộ logo;

b) Phần logo màu đỏ có dạng hình viên phân.

Bài 5. Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.

Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0,5 m).

a) Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.

b) Tính diện tích phần dưới nước của guồng nước.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hình viên phân là gì

• Tiếp tuyến của đường tròn là gì

• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

• Hai đường tròn cắt nhau là gì

• Hai đường tròn tiếp xúc nhau là gì

---