15 Bài tập Giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác có lời giải

---

---

Bài viết 15 Bài tập Giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác có lời giải gồm các dạng bài tập về Giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh lớp 11 biết cách làm bài tập Giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác.

Bài 1: Tập nghiệm của phương trình: 3sin²x - 2√3sinxcosx - 3cos²x = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: A

3sin²x - 2√3 sin⁡x cos⁡x - 3 cos²x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0 (1) ⇔ sin⁡x = 0 (vô lý do: sin²x + cos²x = 1)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos²x. Ta được :

3tan²x - 2√3 tan⁡x - 3 = 0

Bài 2: Phương trình 3sin²x + msin2x – 4cos²x = 0 có nghiệm khi:

A. m = 4

B. m ≥ 4

C. m ≤ 4

D. m ∈ R

Lời giải:

Đáp án: D

3sin²x + m sin⁡2x - 4 cos²x = 0

Xét cos⁡x = 0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²x:

3 tan²x + 2m tan⁡x - 4 = 0

Δ' = m² + 12 > 0 ∀ m

⇒ PT luôn có nghiệm với ∀ m. Chọn D

Bài 3: Nghiệm của phương trình sin²x – sinxcosx = 1 là:

Lời giải:

Đáp án: A

sin²x-sin⁡x cos⁡x = 1 (1)

Xét cos⁡x = 0. Ta có (1) ⇔ sin²x = 1 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z).

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²x ta có:

tan²x - tan⁡x = 1/cos²x

⇔ tan²x - tan⁡x = tan²x + 1

⇔ tan⁡x = -1

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z). Chọn A

Bài 4: Nghiệm của phương trình cos²x - √3sin2x = 1 + sin²x là:

Lời giải:

Đáp án: D

cos²x - √3 sin⁡2x = 1 + sin²x (1)

Xét cos⁡x = 0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²x ta có:

Bài 5: Số nghiệm của phương trình sin²x + 2sinxcosx + 3cos²x = 3 thuộc khoảng (0; 2π) là:

A. 1        B.2        C.3        D.4

Lời giải:

Đáp án: C

sin²x + 2 sin⁡x cos⁡x + 3 cos²x = 3

Xét cos⁡x = 0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²x ta có:

tan²x + 2 tan⁡x + 3 = 3 tan²x + 3

tan²x - tan⁡x = 0

Bài 6: Nghiệm của phương trình -2sin³x + 3cos³x – 3sinxcos2x – sin²xcosx = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: A

-2 sin³x + 3 cos³x-3 sin⁡x cos2⁡x - sin²x cos⁡x = 0

⇔ -2sin³x + 3 cos³x-3 sin⁡x (2cos²x-1 ) - sin²x cos⁡x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0. Ta có (1) ⇔-2sin³x + 3 sin⁡x = 0

Xét cos⁡x ≠ 0 chia hết cả 2 vế của (1) cho cos³x. Ta có

-2tan³x + 3-6 tan⁡x + 3 tan⁡x (tan²x + 1)-tan²x = 0

⇔ tan³x-tan²x-3 tan⁡x + 3 = 0

Chọn A

Bài 7: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin² x + 3√3 sinxcosx - cos² x=2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án: B

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x. Ta được :

2 sin²x + 3√3 sin⁡x cos⁡x-cos²x = 2

⇔ 3√3 tan⁡x-3 = 0

⇔ tan⁡x = 1/√3⇔x = π/6 + kπ (k ∈ Z)

Xét cos⁡x = 0: 2sin²x = 2

⇔ sin⁡x = ±1

⇔ x = π/2 + kπ. Chọn B

Bài 8: Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình sin² x - (√3 + 1)sinxcosx + √3 cos² x = √3.

Lời giải:

Đáp án: D

sin²x-(√3 + 1) sin⁡x cos⁡x + √3 cos²x = √3

Bài 9: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình? sin² x + √3 sinxcosx=1

Lời giải:

Đáp án: D

sin²x + √3 sin⁡x cos⁡x = 1

Bài 10: Cho phương trình cos² x-3sinxcosx + 1=0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. x = kπ không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos² x thì ta được phương trình tan² x - 3tanx + 2 = 0.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin² x thì ta được phương trình 2cot² x + 3cotx + 1 = 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x - 3sin2x + 3 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

⇒ PT ⇔1-0 + 1 = 0 (vô lý)

Vậy câu A đúng

Xét câu B : Chia cho cos²x.Ta có

PT ⇔ 1-3 tan⁡x + 1/cos²x = 0 ⇔ tan²x-3 tan⁡x + 2 = 0. B đúng

Xét câu C. Chia cho sin²x ta có

PT ⇔ cot²x-3cot⁡x + 1/sin²x = 0 ⇔ 2cot²x-3 cot⁡x + 1 = 0. Sai

Chọn C

Bài 11: Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin² x - 4sinxcosx + 4cos² x = 5 trên đường tròn lượng giác là?

A. 4.        B.3.        C.2.        D. 1.

Lời giải:

Đáp án: C

Xét cos⁡x = 0. Pt ⇔ 1 = 5 vô lí

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cho cos²x . Ta được :

tan²x-4 tan⁡x + 4 = 5 tan²x + 5

⇔ 4tan²x + 4 tan⁡x + 1 = 0

⇔ tan⁡x = -1/2

⇔ x = arc tan⁡(-1/2) + kπ. Vậy có 2 điểm biểu diễn. Chọn C

Bài 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4sin² x + 3√3 sin2x - 2cos² x = 4 là:

A. π/12.        B. π/6.        C. π/4.        D. π/3.

Lời giải:

Đáp án: B

Xét cos⁡x = 0. PT ⇔ 4 sin²x = 4

⇔ sin²x = 1

⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cho cos²x . Ta được :

4tan²x + 6√3 tan⁡x-2 = 4 tan²x + 4

⇔ tan⁡x = √3/3

⇔ x = π/6 + kπ. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất : π/6. Chọn B

Bài 13: Cho phương trình (√2-1) sin² x + sin2x + (√2 + 1) cos² x - √2 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. x=7π/8 là một nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos² x thì ta được phương trình tan² x - tanx -1=0.

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin²x thì ta được phương trình cot²x + 2cotx – 1 = 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x – sin2x = 1.

Lời giải:

Đáp án: C

Xét từng câu như bài 10. Ta có câu C sai, chọn C

Bài 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình 11sin² x + (m-2)sin2x + 3cos² x = 2 có nghiệm?

A. 16        B. 21        C. 15        D. 6

Lời giải:

Đáp án: A

Xét cos⁡x = 0. Khi đó PT ⇔ 11.1 = 2 (vô lý)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cho cos²x . Ta được :

11 tan²x + 2(m-2) tan⁡x + 3 = 2 tan²x + 2

⇔ 9tan²x + 2(m-2) tan⁡x + 1 = 0

Để pt có nghiệm ⇔ ∆' = (m-2)² - 9 = m²-4m-5 ≥ 0

m ∈ [-10,10],m nguyên ⇒ m ∈ {-10; -9; -8; ...; -1; 5; 6; ...; 10}

⇒ có 16 giá trị. Chọn A

Bài 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin² x + msin2x = 2m vô nghiệm.

A. 0 ≤ m ≤ 4/3.        B. m < 0, m > 4/3.

C. 0 < m < 4/3.        D. m < -4/3, m > 0.

Lời giải:

Đáp án: B

Xét cos⁡x = 0. PT ⇔2.1 = 2m. Pt có nghiệm m = 1

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cho cos²x . Ta được :

(2-2m) tan²x + 2m tan⁡x - 2m = 0

⇔ ∆' = m² + 2m(2-2m) = -3m² + 4m ≥ 0⇔0 ≤ m ≤ 4/3

⇒ Pt vô nghiệm khi m < 0, m > 4/3. Chọn B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi Tốt nghiệp THPT khác:

• Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
• Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản
• Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
• Trắc nghiệm phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
• Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
• Trắc nghiệm phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
• Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

---

---

---