Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

Bài viết Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

a) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4.  

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số) 

b)  

Mở rộng:

(u₁ ± u₂ ±...±  u_n)' = u₁' ± u₂' ±...±  u_n'

(u.v.w)' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó:  

2. Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x₀ sau:

a) y = 7 + x – x², với x₀ = 1 

b) y = 3x² – 4x + 9, với x₀ = 1

Lời giải

a) y = 7 + x – x²

Ta có: y' = 1 – 2x

Vậy  y'(1) = 1 – 2. 1 = –1.

b) y = 3x² – 4x + 9

Ta có: y' = 6x – 4

Vậy y'(1) = 6.1 – 4 = 2.

Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x)

Lời giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’ 

= (2x – 3)’.(x⁵ – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3) 

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

c)  

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

Lời giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức (u^α)' = α.u^α−1.u' (với u = x⁷ + x)

y' = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức (u^α)' với u = 1 – 2x²

y' = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².

c)  

Bước đầu tiên sử dụng (u^α)', với  

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x² 

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

e) . Sử dụng công thức với u = 1 + 2x – x²

f) Sử dụng được:

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x² + 1. Giá trị f’(– 1) bằng:

A. 2                       B. 6                           C. – 4                        D. 3

Câu 2. Cho hàm số f(x) = – 2x² + 3x xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:

A. – 4x – 3            B. –4x + 3                 C. 4x + 3                   D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x³)⁵ là:

A. y' = 5(1 – x³)⁴                                     B. y' = –15x²(1 – x³)⁴

C. y' = –3(1 – x³)⁴                                   D. y' = –5x²(1 – x³)⁴

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x² – x + 1)⁵ là:

A. 4(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                         B. 5(x² – x + 1)⁴

C. 5(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                         D. (x² – x + 1)⁴(2x – 1)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số  bằng biểu thức nào dưới đây?

Câu 6. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 7. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng  . Khi đó a – b bằng:

A. a – b = 2           B. a – b = –1             C. a – b = 1               D. a – b = –2

Câu 8. Cho hàm số  đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. y'(1) = –4          B. y'(1) = –5              C. y'(1) = –3              D. y'(1) = –2

Câu 9. Cho hàm số  Tính y'(0) bằng:

A.            B.                C. y'(0) = 1                D. y'(0) = 2

Câu 10. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên D = [0;+∞) cho bởi  có đạo hàm là:

Câu 12. Hàm số  xác định trên D = [0;+∞). Đạo hàm của f(x)là:

A.                                       B. 

C.                                       D. 

Câu 13. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức có dạng  Khi đó a + b bằng:

A. a + b = –10       B. a + b = 5               C. a + b = –10           D. a + b = –12

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = (x² + 1)(5 – 3x²) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx. Khi đó  bằng:

A. – 1                    B. –2                         C. 3                           D. – 3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x²(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx² + cx. Khi đó a + b + c bằng:

A. 31                     B. 24                         C. 51                         D. 34

Bảng đáp án

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải
• Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình
• Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm
• Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải
• Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải