Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =   f’(x₀).(x – x₀) + y₀

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =   f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

M₀(x₀; y₀) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x₀) là hệ số góc.

Chú ý:

- Nếu cho x₀ thì thế vào y = f(x) tìm y₀.    

- Nếu cho y₀ thì thế vào y = f(x) tìm x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải

Đặt f(x) = x³

Khi đó: f'(x) = 3x²

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm. 

Hoành độ tiếp điểm x_M = 2 nên tung độ y_M = (x_M)³ = 8. Vậy M(2; 8). 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm y_M = 5 ⇒ (x_M)³ = 5 ⇒  

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒  

Phương trình tiếp tuyến tại M là:  

Ví dụ 2: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải

Đặt  

⇒ 

a) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ:  

Gọi klà hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒  

Phương trình tiếp tuyến tại M là:  ⇒ y = 9x − 2.

b) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:  

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒ k = f'(2) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2.

c) Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: x_M = 0 ⇒  

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

 Chú ý:   

* Cho hai đường thẳng: d₁ : y = a₁x + b₁ và d₂ : y = a₂x + b₂, với a₁, a₂ lần lượt là hệ số góc của d₁ và d₂. Khi đó: 

 

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: k_d = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có k_d = tanα = a.

Khi a < 0, ta có k_d = tan(180° − α).

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Cho hàm số  có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):  .

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020.

Lời giải

Ta có y' = f'(x) = x² – x.

a) Gọi M(x₀;y₀) ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

⇒ f'(x₀) = 2 ⇔  

* Với x₀ = 2 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  là  hay  

* Với x₀ = – 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  là  hay  

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d)  nên  ⇒ k = 6

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

* Với x₀ = 3 ta có y₀ = f(3) = ⇒  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là  hay  

* Với x₀ = - 2 ta có y₀ = f(−2) = ⇒ ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là:  hay  

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc 

⇒ k = 0

Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

⇒ f'(x₀) = 0 ⇔  

* Với x₀ = 0 ta có y₀ = f(0) = 1 ⇒ M₁(0;1) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(0; 1) là y = 1.

* Với x₀ = 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  là  

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y= f(x) =  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) biết: 

a) (∆) tạo với Ox một góc bằng 45⁰

b) (∆) song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải

TXĐ: D = R \ {−1}.

Ta có:  

a) Gọi M(x₀;y₀) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến (∆).

Tiếp tuyến (∆) có hệ số góc là k = f(x₀) =  

Mà (∆;Ox) = 45° ⇒ k = tan(180° − 45°) = tan(135°) = −1

* Với x₀ = 2 ⇒ y₀ = f(2) = = 5 ⇒ M₁(2;5)

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M₁(2; 5) là: (∆): y = −1.(x − 2) + 5 ⇔ y = −x + 7

* Với x₀ = 0 ⇒  

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M₂(0; 2) là: (∆): y = −1.(x − 0) + 3 ⇔ y = −x + 3.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (∆).

(d): 4x + y − 5 = 0 ⇒ y = −4x + 5

Do tiếp tuyến (∆) song song với đt (d) ⇒ k = −4

* Với x₀ = 3 ta có y₀ = f(3) = = 3 ⇒ M₁(3;3).

Phương trình tiếp tuyến (∆): y = −4.(x − 3) + 3 ⇔ y = −4x +15

* Với x₀ = – 1 ta có  

Phương trình tiếp tuyến (∆) y = −4.(x + 1) + ⇔ y = −4x −   .

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x₀; f(x₀)). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x₀).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(x_A; y_A)

Nên y_A = f'(x₀)(x_A – x₀) + f(x₀). Phương trình đưa về ẩn x₀ . Giải phương trình tìm x₀.

Bước 3: Với x₀ tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

Lời giải

Gọi  là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x² – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là 

d:  

Vì M ∈ d nên:  

 

Với , ta có phương trình tiếp tuyến là:  

Với A(−1;−9), ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số  có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải

TXĐ: D =R \  

Ta có  

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là  

Tiếp tuyến (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ ⇒ m ≠ 0, k ≠ 0

Do A∈ Ox ⇒ ;B ∈ Oy ⇒ B(0;m)

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên OA = OB ⇔  

Do m ≠ 0 ⇒  

Mà do (d) có hệ số góc  

 

 * Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₁(–1; 1) là (d): y = −(x + 1) +1 ⇔ y = −x (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M₂(– 2; 0) là y = −(x + 2) +0 ⇔ y = −x − 2

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số  có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.                                          B. y = 3x + 1.            

C. y = – 2x + 4.                                       D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x₀ = – 1 là:

A. y = 10x + 4.                                        B. y = 10x – 5.          

C. y = 2x – 4.                                          D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A. – 3.                   B. 3.                          C. 4.                          D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ  là

A.                       B.                        C. 1.                          D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.                     

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.                     

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số  có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

 

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

Câu 8. Cho hàm số y = x² – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3.             B. y = – 4.                 C. y = 4.                    D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).                            

B. y = – 9(x + 3).   

C. y – 16 = – 9(x – 3).                            

D. y + 16 = – 9(x + 3).

Câu 10. Cho hàm số  có đồ thị (H). Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của ∆ là

 

Câu 11. Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1.                      B. 3.                          C. 4.                          D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2x có đồ thị (C). Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x₁ + x₂ bằng:

Câu 13. Cho hàm số  có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A.                B.            C. y = 3(x + 1)          D. y = 3x + 1

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2

A. 2                       B. 3                           C. 0                           D. 1

Câu 15. Cho hàm số  , có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.                     

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.                  

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

Bài 16. Cho hàm số y = $\frac{2x-1}{x+1}$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Bài 17. Cho hàm số y = $\frac{2}{3}{x}^3-3x^2-\frac{1}{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 4y + 2016 = 0.

Bài 18. Cho hàm số y = $-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2015.

Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 6x² + 11x – 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

Bài 20. Cho hàm số $y=\frac{3x+1}{x+1}$(1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M(-2; 5).

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	A	D	A	D	D	B	A	C	D	A	B	B	A

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải
• Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải
• Đường thẳng song song với mặt phẳng và cách giải bài tập
• Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập
• Quy tắc đếm và cách giải bài tập

---

---

---