Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải (hay, chi tiết)



Bài viết Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y =   f’(x0).(x – x0) + y0

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y =   f’(x0).(x – x0) + f(x0)

Trong đó:

M0(x0; y0) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x0) là hệ số góc.

Chú ý:

Nếu cho xthì thế vào y = f(x) tìm y0.    

- Nếu cho ythì thế vào y = f(x) tìm x0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải

Đặt f(x) = x3

Khi đó: f'(x) = 3x2

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm. 

Hoành độ tiếp điểm xM = 2 nên tung độ yM = (xM)3 = 8. Vậy M(2; 8). 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm yM = 5 ⇒ (xM)3 = 5 Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến tại M là: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải

Đặt Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

a) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Gọi klà hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến tại M là: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 ⇒ y = 9x − 2.

b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ⇒ k = f'(2) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x 2.

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: xM = 0 ⇒ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x0) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn là x0.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0).

 Chú ý:   

Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 và d: y = a2x + b2, với a1, a2 lần lượt là hệ số góc của d1 và d2. Khi đó: 

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: kd = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có kd = tanα = a.

Khi a < 0, ta có kd = tan(180° − α).

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020.

Lời giải

Ta có y' = f'(x) = x2 – x.

a) Gọi M(x0;y0) ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

⇒ f'(x0) = 2 ⇔ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Với x0 = 2 ta có Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Với x01 ta có Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d) Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 nên Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 ⇒ k = 6

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11

* Với x0 = 3 ta có y0 = f(3) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Với x0 = - 2 ta có y0 = f(−2) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc 

⇒ k = 0

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

⇒ f'(x0) = 0 ⇔ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Với x0 = 0 ta có y0 = f(0) = 1 ⇒ M1(0;1) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(0; 1) là y = 1.

* Với x0 = 1 ta có Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y= f(x) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) biết: 

a) (∆) tạo với Ox một góc bằng 450

b) (∆) song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải

TXĐ: D = R \ {−1}.

Ta có: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

a) Gọi M(x0;y0) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến (∆).

Tiếp tuyến (∆) có hệ số góc là k = f(x0) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Mà (∆;Ox) = 45° ⇒ k = tan(180° − 45°) = tan(135°) = −1

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11

* Với x0 = 2 ⇒ y0 = f(2) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 = 5 ⇒ M1(2;5)

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M1(2; 5) là: (∆): y = −1.(x − 2) + 5 ⇔ y = −x + 7

* Với x0 = 0 Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm M2(0; 2) là: (∆): y = −1.(x − 0) + 3 ⇔ y = −x + 3.

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (∆).

(d): 4x + y − 5 = 0 ⇒ y = −4x + 5

Do tiếp tuyến (∆) song song với đt (d) ⇒ k = −4

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11

* Với x0 = 3 ta có y0 = f(3) = Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 = 3 ⇒ M1(3;3).

Phương trình tiếp tuyến (∆): y = −4.(x − 3) + 3 ⇔ y = −4x +15

* Với x01 ta có Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình tiếp tuyến (∆) y = −4.(x + 1) + Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11y = −4x Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11  .

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x0; f(x0)). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x0).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(xA; yA)

Nên yA = f'(x0)(xA – x0) + f(x0). Phương trình đưa về ẩn x. Giải phương trình tìm x0.

Bước 3: Với x0 tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 9).

Lời giải

Gọi Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x2 – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là 

d: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vì M ∈ d nên: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Với Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11, ta có phương trình tiếp tuyến là: Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Với A(−1;−9), ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải

TXĐ: D =R \ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ta có Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Tiếp tuyến (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ ⇒ m ≠ 0, k ≠ 0

Do A∈ Ox ⇒ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11;B ∈ Oy ⇒ B(0;m)

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên OA = OB ⇔ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Do m ≠ 0 ⇒ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Mà do (d) có hệ số góc Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

 * Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(–1; 1) là (d): y = −(x + 1) +1 ⇔ y = −x (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2(– 2; 0) là y = −(x + 2) +0 ⇔ y = −x − 2

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.                                          B. y = 3x + 1.            

C. y = – 2x + 4.                                       D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x3 – 2x2 + 3x tại điểm có hoành độ x0 = – 1 là:

A. y = 10x + 4.                                        B. y = 10x – 5.          

C. y = 2x – 4.                                          D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A. – 3.                   B. 3.                          C. 4.                          D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11                      B. Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11                       C. 1.                          D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.                     

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.                     

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x2 tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11

Câu 8. Cho hàm số y = x2 – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3.             B. y = – 4.                 C. y = 4.                    D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).                            

B. y = – 9(x + 3).   

C. y – 16 = – 9(x – 3).                            

D. y + 16 = – 9(x + 3).

Câu 10. Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị (H). Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của ∆ là

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 11. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1.                      B. 3.                          C. 4.                          D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 2x có đồ thị (C). Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x1 + x2 bằng:

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11

Câu 13. Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A. Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11               B. Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11           C. y = 3(x + 1)          D. y = 3x + 1

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2 + 2

A. 2                       B. 3                           C. 0                           D. 1

Câu 15. Cho hàm số Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11 , có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.                     

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.                  

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

Bài 16. Cho hàm số y = 2x1x+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Bài 17. Cho hàm số y = 23x33x213. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 4y + 2016 = 0.

Bài 18. Cho hàm số y = 13x3+x2+2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2015.

Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 6x2 + 11x – 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

Bài 20. Cho hàm số y=3x+1x+1(1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M(-2; 5).

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

A

A

D

A

D

D

B

A

C

D

A

B

B

A

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:




Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học