Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải (hay, chi tiết)

Bài viết Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

a) Giới hạn:  

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x² – 3x + 2)

d) y = tan 3x – cot 3x

e)  

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có:  

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

Cách 2: Ta biến đổi:

e)  

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: 

Khi đó, ta có:  

y' − y² − 1 =  (đpcm)

b) Trước tiên, ta có:  

Khi đó, ta có:

y' + 2y² +2 =   (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a)   y = sin 2x – 2cos x.

b)   y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos 2x + 2sin x = 0 ⇔ cos2 x = −sin x =    

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos 2x – 8sin 2x + 10 = 0 ⇔ 4sin 2x - 3cos 2x = 5

⇔ sin 2x −  cos 2x = 1

Đặt = cosa và  = sina , do đó ta được:

sin 2x.cosa − cos 2x.sina = 1 ⇔ sin(2x − a) = 1

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x         B.            C. D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 3. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x                          

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x                        

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x                                    

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x                                                                  

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số  có đạo hàm là:

A. B.  

C. D.  

Câu 8. Hàm số  có đạo hàm là:

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

Câu 10. Đạo hàm của hàm số có biểu thức dạng  

Vậy giá trị a là:

A. a  =  1               B. a  =  – 2                C. a   =  3                   D. a   =  2

Câu 11. Cho hàm số . Đạo hàm y' của hàm số là

Câu 12. Đạo hàm của hàm số  là

A. y' = 2sin 2x.cos x − sin x.sin² 2x −                                 

B. y' = 2sin 2x.cos x − sin x.sin² 2x − 

C. y' = 2sin 4x.cos x + sin x.sin² 2x −                                

D. y' = 2sin 4x.cos x − sin x.sin² 2x −  

Câu 13. Cho hàm số . Giá trị đúng của  bằng

Câu 14. Cho hàm số y = cos²x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)

A. 1 nghiệm           B. 2 nghiệm               C. 3 nghiệm              D. 4 nghiệm

Câu 15.  Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0  trong khoảng (−π;π)

BẢNG ĐÁP ÁN

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình
• Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm
• Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải
• Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải
• Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải