Giới hạn tại một điểm là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Giới hạn tại một điểm là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm.

1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ điểm x₀. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu dãy số (x_n) bất kì, x_{n ∈} (a; b), x_n ≠ x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0;\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$ với c là hằng số.

Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x₀ nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x₀.

2. Ví dụ minh họa về giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$.

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn lim x_n = –2.

Ta có: lim$x_n^3={\left(-2\right)}^3=-8$. Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$.

Ví dụ 2. Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-16}{x+4}$(x ≠ –4). Chứng minh rằng $\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=-8$.

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn, x_n ≠ –4 và lim x_n = –4.

Ta có: lim f(x_n) = lim$\frac{x_n^2-16}{x_n+4}$$=\lim \frac{\left(x_n+4\right)\left(x_n-4\right)}{x_n+4}$

$=\lim \left(x_n-4\right)$= lim x_n – lim 4 = –4 – 4 = –8.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ –1 và lim x_n = –1.

Ta có: lim f(x_n) = lim$\frac{x_n^2+3x_n+2}{x_n+1}$$=\lim \frac{\left(x_n+1\right)\left(x_n+2\right)}{x_n+1}$

$=\lim \left(x_n+2\right)$= lim x_n + lim 2 = –1 + 2 = 1.

3. Bài tập về giới hạn tại một điểm

Bài 1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\underset{x\to \frac{-1}{2}}{\lim }\left(2x^3-1\right)=\frac{-5}{4}$.

Bài 2. Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2}$(x ≠ 2). Chứng minh rằng $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=12$.

Bài 3. Tìm giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$.

Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số:

a) $\underset{x\to 4}{\lim }\left(\sqrt{x}+2\right)$.

b) $\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\frac{x-2\sqrt{3}x+3}{x-\sqrt{3}}$.

Bài 5. Chứng minh rằng: $\underset{x\to 0}{\lim }\left(x\cos \frac{1}{x}\right)=0$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

• Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì

• Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

• Quy tắc tính giới hạn

• Giới hạn vô cực của dãy số là gì

---