Giới hạn vô cực của dãy số là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Giới hạn vô cực của dãy số là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết giới hạn vô cực của dãy số.

1. Nhận biết giới hạn vô cực của dãy số

+ Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là $+\infty$ khi n → $+\infty$, nếu u_n lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$= $+\infty$ hay u_n → $+\infty$ khi n → $+\infty$ hay lim u_n = $+\infty$.

+ Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là –$\infty$ khi n → $+\infty$, nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(–u_n\right)$= $+\infty$.

Kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$= –$\infty$ hay u_n → –$\infty$ khi n → $+\infty$ hay lim u_n = –$\infty$.

Theo định nghĩa, ta có:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$ với k là một số nguyên dương;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$ nếu q > 1;

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

Nếu lim u_n = a và lim v_n = + $\infty$ (hoặc lim v_n = – $\infty$) thì lim$\frac{u_n}{v_n}=0$.

Nếu lim u_n = a > 0 và lim v_n = 0, v_n > 0 với mọi n thì lim$\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

lim u_n = +$\infty$$\iff$ lim (–u_n) = –$\infty$.

2. Ví dụ minh họa về nhận biết giới hạn vô cực của dãy số

Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng lim n⁵ = +$\infty$.

Hướng dẫn giải

Xét dãy số (u_n) = n⁵.

Với M là số dương bất kì, ta thấy: u_n > M $\iff$ n⁵ > M $\iff$$n>\sqrt[5]{M}$.

Vậy với các số tự nhiên $n>\sqrt[5]{M}$ thì u_n > M. Do đó, lim n⁵ = + $\infty$.

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:

a) lim (n³ + 3n).

b) lim ${\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^n$.

c) lim$\frac{-4+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^3}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: n³ + 3n = n³$\left(1+\frac{3}{n^2}\right)$ và lim n³ = +$\infty$; lim$\left(1+\frac{3}{n^2}\right)$= 1.

Do đó, lim (n³ + 3n) = + $\infty$

b) Vì $\frac{3\pi }{2}>1$ nên lim ${\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^n$= + $\infty$.

c) Vì lim$\left(-4+\frac{1}{n^2}\right)$= –4 < 0 và lim$\frac{1}{n^3}$= 0 và $\frac{1}{n^3}$> 0 với mọi $n\in \mathbb{N}*$.

Do đó, lim$\frac{-4+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^3}}$= – $\infty$.

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:

a) lim$\frac{n^6-5n+1}{n^5+4n^2+2}$.

b) lim$\left(4^{n+1}-7^n\right)$.

Hướng dẫn giải

a) lim$\frac{n^6-5n+1}{n^5+4n^2+2}$= lim$\frac{1-\frac{5}{n^5}+\frac{1}{n^6}}{\frac{3}{n}+\frac{4}{n^4}+\frac{2}{n^6}}=+\infty$

(do lim$\left(1-\frac{5}{n^5}+\frac{1}{n^6}\right)$=1 > 0, lim$\left(\frac{3}{n}+\frac{4}{n^4}+\frac{2}{n^6}\right)$ = 0 và $\frac{3}{n}+\frac{4}{n^4}+\frac{2}{n^6}$>0 với mọi $n\in \mathbb{N}*$).

b) lim$\left(4^{n+1}-7^n\right)$= lim$7^n\left[4.{\left(\frac{4}{7}\right)}^n-1\right]$

Vì lim7ⁿ = +$\infty$ và lim$\left[4.{\left(\frac{4}{7}\right)}^n-1\right]$= –1 < 0 nên lim$\left(4^{n+1}-7^n\right)$= – $\infty$.

3. Bài tập về nhận biết giới hạn vô cực của dãy số

Bài 1. Chứng minh rằng lim (–n⁶) = – $\infty$.

Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) lim$\frac{n^4-2n}{8}$.

b) lim ${\left(-\frac{7\pi }{2}\right)}^n$.

c) lim$\frac{-7n^2}{3n+5}$.

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:

a) lim$\frac{2n^{12}-n+5}{n^7-3n^{10}-7}$.

b) lim$\frac{\sqrt{2n^8-n^6+5}}{n^3+5n^4-1}$.

c) lim$\frac{\left(2n+3\right)\left(n^6-1\right)}{3n^5+7n+1}$

Bài 4. Tìm các giới hạn sau:

a) lim$\left(7^n-5^{2n}\right)$.

b) lim$\frac{{10}^{n+1}}{3^{2n}}$.

c) lim$\frac{5^{n+1}+4^n}{3^n}$.

Bài 5. Tính các giới hạn sau:

a) lim$\left(n^2+\sqrt{n^4+1}\right)$.

b) lim$\left(2n-\sqrt{n^2+1}\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

• Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì

• Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

• Quy tắc tính giới hạn

• Giới hạn tại một điểm là gì

---