Quy tắc tính giới hạn lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Quy tắc tính giới hạn lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Quy tắc tính giới hạn.

1. Hình thành quy tắc tính giới hạn

Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì:

lim (u_n + v_n) = a + b; lim (u_n – v_n) = a – b; lim (u_n.v_n) = ab, lim$\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$.

Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và lim u_n = a thì a ≥ 0 và lim$\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

+ Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa bậc cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

2. Ví dụ minh họa về hình thành quy tắc tính giới hạn

Ví dụ 1. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có lim u_n = 2 và lim v_n = 3. Tìm các giới hạn:

a) lim (3u_n + 2).

b) lim (2u_n + 5v_n).

Hướng dẫn giải

a) lim (3u_n + 2) = 3.2 + 2 = 8.

b) lim (2u_n – 5v_n) = 2.2 – 5.3 = –11.

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:

a) lim$\frac{n^6+5n+1}{8n^6+2n^3+1}$.

b) lim$\left(2-\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{5^n}\right)$.

c) lim$\frac{\sqrt{25n^2+7}}{5n}$

Hướng dẫn giải

a) lim$\frac{n^6+5n+1}{8n^6+2n^3+1}$= lim$\frac{1+\frac{5}{n^5}+\frac{1}{n^6}}{8+\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}}=\frac{\lim \left(1+\frac{5}{n^5}+\frac{1}{n^6}\right)}{\lim \left(8+\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}\right)}=\frac{1}{8}$.

b) lim$\left(2-\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{5^n}\right)=\lim \left(2-\frac{1}{n}\right)\lim \left(3-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\right)=2.3=6$.

c) Ta có: $\frac{\sqrt{25n^2+7}}{5n}=\sqrt{\frac{25n^2+7}{25n^2}}=\sqrt{1+\frac{7}{25n^2}}$.

Nên lim$\frac{\sqrt{25n^2+7}}{5n}=\lim \sqrt{1+\frac{7}{25n^2}}=\sqrt{\lim \left(1+\frac{7}{25n^2}\right)}=\sqrt{1+0}=1$.

Ví dụ 3. Tìm lim$\left(\sqrt{3n^2+n}-\sqrt{3n^2+1}\right)$.

Hướng dẫn giải

lim$\left(\sqrt{3n^2+n}-\sqrt{3n^2+1}\right)$

= lim$\frac{\left(\sqrt{3n^2+n}-\sqrt{3n^2+1}\right)\left(\sqrt{3n^2+n}+\sqrt{3n^2+1}\right)}{\sqrt{3n^2+n}+\sqrt{3n^2+1}}$

= lim$\frac{n-1}{\sqrt{3n^2+n}+\sqrt{3n^2+1}}$

= lim $\frac{n-\frac{1}{n}}{\sqrt{3+\frac{1}{n}}+\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

3. Bài tập về hình thành quy tắc tính giới hạn

Bài 1. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có lim u_n = –4 và lim v_n = 8. Tìm các giới hạn:

a) lim (u_n – 2v_n).

b) lim (6v_n + 7).

c) lim (v_n – u_n)³.

d) lim$\frac{2u_n}{u_n+3v_n}$.

Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) lim$\left(7+\frac{5}{n^6}\right)$.

b) lim$\left(12-\frac{3}{n^2}\right)\left(7+\frac{2}{{16}^n}\right)$

c) lim$\frac{6n^2+5}{5n^3+2}$.

d) lim$\frac{3n^{10}+12n^5+9}{-5n^{10}+8n^9+7n^2}$.

e) lim$\frac{\sqrt[3]{n^3-7}}{n+5}$.

Bài 3. Tìm các giới hạn sau:

a) lim$\frac{5^n+6^n}{{4.5}^n-{5.6}^n}$

b) lim$\frac{3^n{.4}^n+1}{{15}^n-7}$.

Bài 4. Cho dãy số (u_n) sao cho nu_n = 6. Tính lim$\frac{3n+4}{4n^2{u}_n}$.

Bài 5. Tính các giới hạn sau:

a) lim$\left(\sqrt{12n^4+n^2}-\sqrt{12n^4+n+2}\right)$.

b) lim$\left(\sqrt{n^2+3n}-n-2\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

• Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì

• Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

• Giới hạn vô cực của dãy số là gì

• Giới hạn tại một điểm là gì

---