Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 10 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 10: Các hình khối trong thực tiễn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 10

1. Hình trụ

Khi quay hình chữ nhật AA'O'O một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ.

⦁ Cạnh OA, O'A' quét thành hai hình tròn có cùng bán kính gọi là hai đáy của của hình trụ; bán kính của đáy gọi là bán kinh đáy của hình trụ.

⦁ Cạnh AA' quét thành mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị tri của AA' được coi là một đường sinh.

⦁ Độ dài đoạn OO' gọi là chiều cao của hình trụ. Các đường sinh có độ dài bằng nhau và bằng chiều cao của hình trụ.

2. Diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:

S_xq = 2πrh.

Trong đó: S_xq là diện tích xung quanh của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

3. Thể tích của hình trụ

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:

V = S . h = πr²h.

Trong đó: V là thể tích của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

4. Hình nón

Khi quay tam giác vuông SOB một vòng quanh cạnh góc vuông SO cố định ta được một hình nón.

⦁ S gọi là đỉnh của hình nón.

⦁ Cạnh OB quét thành hình tròn gọi là đáy của hình nón. Bán kính của đáy gọi là bán kính đáy của hình nón.

⦁ Cạnh SB quét thành mặt xung quanh của hình nón. Mỗi vị trí của SB là một đường sinh. ⦁ Độ dài SO là chiều cao của hình nón.

Chú ý: Độ dài đường sinh l của hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h được tính bởi công thức:  $l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\mathrm{h}}^2}$.

5. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức:

S_xq = πrl.

Trong đó: S_xq là diện tích xung quanh của hình nón;

r là bán kính đáy của hình nón;

l là độ dài đường sinh của hình nón.

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.

6. Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón được tính bằng công thức:

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Trong đó: V là thể tích của hình nón;

r là bán kính đáy của hình nón;

h là chiều cao của hình nón.

7. Hình cầu

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định ta được một hình cầu tâm O, bán kính R.

Khi đó, nửa đường tròn quét thành mặt cầu. Ta cũng gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Đoạn thẳng đi qua tâm của hình cầu với hai đầu mút nằm trên mặt cầu gọi là đường kính của hình cầu (hay mặt cầu).

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt cầu và mặt phẳng (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

8. Diện tích của mặt cầu

Diện tích của mặt cầu được tính bằng công thức:

S = 4πR².

Trong đó: S là diện tích mặt cầu;

R là bán kính.

9. Thể tích của hình cầu

Thể tích của hình cầu được tính bằng công thức:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Trong đó: V là thể tích của hình cầu;

                R là bán kính.

Bài tập ôn tập Chương 10

Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 42π cm² và diện tích toàn phần là 60π cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

A. 61 cm³.

B. 62 cm³.

C. 63 cm³.

D. 64 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có  S_đáy = $\frac{S_{tp}-S_{xq}}{2}=\frac{60\pi -42\pi }{2}=9\pi$ $\left(cm2\right).$

Mà S_đáy = πr² hay 4π = πr² hay r = 3 (cm).

Ta có S_xq = 2πRh hay $h=\frac{42\pi }{2\pi r}=\frac{42}{2.3}=7$ (cm).

Thể tích của hình trụ đó là:

V = πr²h = π. 3² . 7 = 63π (cm³).

Vậy thể tích của hình trụ đó là 63π cm³.

Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1 200π cm². Thể tích của hình trụ đó là

A. 2 565π.

B. 5 562π.

C. 5 625π.

D. 6 525π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1 200π cm² nên

S­_tp­ = 2πrh + 2πr² = 1 200π

Ta có: 2πr(h + r) = 1 200π

r(h + r) = 600

r(25 + r) = 600

r = 15

Bán kính đáy hình trụ là 15 cm.

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 15² . 25 = 5 625π (cm³)

Vậy thể tích của hình trụ đó là là 5 625π cm³.

Bài 3. Một hình nón có chiều cao bằng 24cm và thể tích bằng 800π cm³. Diện tích toàn phần của hình nón này là

A. 180π.

B. 240π.

C. 360π.

D. 480π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.

Thể tích hình nón bằng 800π cm³ nên ta có:

$\frac{1}{3}\pi R^{2}h=800\pi$

$\frac{1}{3}\pi R^2.24=800\pi$

R² = 100

R = 10 (cm)

Bán kính đáy hình nón là 10 cm.

Đường sinh của hình nón này là:

$l=\sqrt{{\mathrm{R}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{{10}^2+{24}^2}=26$ (cm)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πRl + πR² = π . 10 . 26 + π.10² = 360π (cm²)

Bài 4. Một hình nón có diện tích đáy bằng 144π cm² và diện tích toàn phần bằng 588π cm². Thể tích hình nón này là

A. 1230 cm³.

B. 1320 cm³.

C. 1680 cm³.

D. 1860 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi R là bán kính đáy hình nón và l là đường sinh của nó.

Ta có $\pi R^2=144\pi$ hay R² = 144

Suy ra R = 12 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = 588π – 144π = 444π (cm²)

Suy ra πRl = 444π, khi đó $l=\frac{444\text{π}}{12\text{π}}=37$ (cm)

Chiều cao của hình nón là: 

$\text{h}=\sqrt{l^2-{\text{R}}^2}=\sqrt{{37}^2-{12}^2}=35$ (cm)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.12}^2.35=1680\pi$ (cm³).

Vậy thể tích hình nón là 1 680 cm³.

Bài 5. Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng m³) bằng số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m²). Bán kính hình cầu đó là

A. 2 m.

B. 3 m.

C. 4 m.

D. 5 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi bán kính hình cầu là R (m).

Vì số đo thể tích bằng số đo diện tích mặt cầu nên ta có: 

$\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^2$ nên R = 3 (m).

Vậy bán kính hình cầu đó là 3 m.

Bài 6. Một hình cầu có thể tích bằng 972π cm³. Diện tích của mặt cầu đó là

A. 234π cm².

B. 432π cm².

C. 324π cm².

D. 243π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thể tích của hình cầu đó là:

$\frac{4}{3}\pi R^3=972\pi$ hay $R^3=729$ nên R = 9 (cm)

Diện tích của mặt cầu đó là:

S = 4πR² = 4π . 9² = 324π (cm²)

Bài 7. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 12 cm.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πrh = 2π . 5 . 12 = 120π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S­_tp­ = 2πRh + 2πr² = 120π + 2π . 5² = 170π (cm²).

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 5² . 12 = 300π (cm³)

Vậy hình trụ có diện tích xung quanh là 120π cm², diện tích toàn phần là 170π cm² và thể tích là 300π cm³.

Bài 8. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50 cm × 189 cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm. Hãy tính:

a) Diện tích tôn để làm hai đáy;

b) Thể tích của hình trụ được tạo thành.

Hướng dẫn giải

a) Vì chiều cao của hình trụ là 50 cm nên chu vi hình tròn đáy là 

$C=2\pi r=189$ nên $r=\frac{189}{2\pi }\approx 30$ (cm).

Diện tích tôn để làm hai đáy là:

S = 2πr² = 2π . 30² = 1 800π ≈ 5 654,87 (cm²).

Vậy diện tích tôn để làm hai đáy khoảng 5 654,87 cm².

b) Thể tích hình trụ được tạo thành là:

V = πr²h = π. 30² . 50 = 45 000π (cm³)

Vậy thể tích hình trụ được tạo thành là 45 000π cm³.

Bài 9. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432π cm² và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng thể tích bằng 3 lần diện tích xung quanh.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R (cm) và h (cm).

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy nên h = 5R.

Diện tích toàn phần bằng 432π cm² nên ta có:

2πR(h + R) = 432π

2πR(5R + R) = 432π

12πR² = 432π

R² = 36

R = 6 (cm)

Khi đó ta có h = 6 . 5 = 30 (cm)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 6 . 30 = 360π (cm²)

Thể tích hình trụ là:

V = πR²h = π. 6² . 30 = 1 080π (cm³)

Ta thấy: $\frac{V}{S_{xq}}=\frac{1080\pi }{360\pi }=3$.

Vậy thể tích hình trụ gấp 3 lần diện tích xung quanh.

Bài 10. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình nón có bán kính đáy là 5 cm và chiều cao là 12 cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore ta tính được độ dài đường sinh hình nón là:

$l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ (cm)

Diện tích xung quanh của hình nón:

S_xq = πrl = π . 5 . 13 = 65π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình nón:

S_tp = πrl + πr² = π . 5 . 13 + π.5² = 90π (cm²)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 65π cm² và diện tích toàn phần của hình nón là 90π cm².

Bài 11. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, chiều cao bằng trung bình cộng của bán kính đáy và đường sinh. Chứng minh rằng hình nón này có số đo diện tích toàn phần (tính bằng cm²) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng cm³).

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón.

Ta có  R = 6cm; $\text{h}=\frac{\text{R}+l}{2}$ hay l = 2h – 6

Mặt khác $l=\sqrt{{\text{R}}^2+{\text{h}}^2}$

$2h-6=\sqrt{6^2+h^2}$

(2h – 6)² = h² + 36

3h² – 24h = 0

h = 8

Chiều cao của hình nón là 8 cm.

Độ dài đường sinh là: 2 . 8 – 6 = 10 (cm).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πRl + πR² = π . 6 . 10 + π.6² = 96π (cm²)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.6}^2.8=96\pi$ (cm³).

Vậy số đo diện tích toàn phần tính bằng cm² đúng bằng số đo thể tích tính bằng cm³.

Bài 12. Một chiếc cốc hình nón đựng rượu đến $\frac{1}{3}$ chiều cao của cốc. Biết thể tích của rượu trong cốc là 2 cm³. Tính thể tích của cốc.

Hướng dẫn giải

Phần rượu trong cốc có dạng hình nón.

Gọi r là bán kính đáy của phần rượu hình nón trong cốc.

Suy ra bán kính miệng cốc là 3r (định lí Thalès).

Thể tích phần rượu trong cốc là: $V_1=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Thể tích của cốc là: $V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(3r\right)}^2.\left(3h\right)=9\pi r^{2}h$

Do đó $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{9\pi r^{2}h}=\frac{1}{27}$.

Suy ra $\frac{2}{V_2}=\frac{1}{27}$ hay V₂ = 2 . 27 = 54 (cm³).

Vậy thể tích của cốc là 54 cm³.

Bài 13. Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.

Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR

Diện tích mặt cầu là: 4πR²

Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên:

12πR = 4πR² nên R = 3 (cm).

Thể tích hình cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.3}^3=36\pi$ (cm³)

Vậy thể tích hình cầu đó là 36π cm³.

Bài 14. Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm². Tính thể tích hình cầu.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.

Vì diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm² nên ta có:

2πR(2R + R) = 384π hay 6πR² = 384π nên R = 8 (cm).

Thể tích hình cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.8}^3=\frac{2048}{3}\pi$ (cm³)

Vậy thể tích hình cầu đó là $\frac{2048}{3}\pi$ cm³.

Bài 15. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg. Biết đường kính của thuyền là 1,2m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? Biết khối lượng riêng của nước là

1 kg/dm³ và nếu khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước thì nước không ngập đến mép thuyền và ngược lại.

Hướng dẫn giải

Bán kính của thuyền thúng là:

1,2 : 2 = 0,6 (m) = 6 (dm).

Thể tích của thuyền là:

$V=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.6}^3=144\pi$ (dm³) ≈ 425 (dm³)

Tổng khối lượng của thuyền, người và cá là:

45 + 65 + 240 = 350 (kg)

Khối lượng riêng của thuyền là:

350 : 452 = 0,8 (kg/dm³)

Khối lượng riêng của nước là 1 kg/dm³.

Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền.

Học tốt Toán 9 Chương 10

Các bài học để học tốt Bài tập cuối chương 10 Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài tập cuối chương 10

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Đa giác đều và phép quay

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 9

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Hình trụ

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hình nón

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Hình cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---