Bài 42 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2

Ôn tập chương 4

Bài 42 trang 174 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau:

BC = AB + 2a (1)

AC = $\frac{1}{2}$ (BC + AB) (2)

a là một độ dài cho trước.

a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác

b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó

c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra

Lời giải:

Đặt độ dài cạnh AB = x; điều kiện x > 0

Theo điều kiện (1) ta có: BC = x + 2a (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: AC = $\frac{1}{2}$ (x + 2a + x) = x + a

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC²

⇒ (x + 2a)² = x² + (x + a)²

⇒ x² + 4ax + 4a² = x² + x² + 2ax + a²

⇒ x² - 2ax - 3a² = 0

⇒ x² - 3ax + ax - 3a² = 0

⇒ (x² - 3ax) + (ax - 3a²) = 0

⇒ x(x - 3a) + a(x - 3a) = 0

⇒ (x + a)(x - 3a) = 0

⇒ $[\begin{array}{l} x = - a (L) \\ x = 3 a (T M) \end{array}$

Vậy cạnh AB = 3a, AC = 3a + a = 4a, BC = 3a + 2a = 5a

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH.BC = AB.AC

=> AH = $\frac{A B . A C}{B C} = \frac{3 a .4 a}{5 a} = \frac{12 a}{5}$

Diện tích của tam giác ABC là:

S₁ = $\frac{1}{2}$ AB.AC = $\frac{1}{2}$ .3a.4a = 6a²

Do tam giác ABC vuông nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC nên ta có:

R = $\frac{B C}{2} = \frac{5 a}{2}$

Diện tích nửa hình tròn là: S₂ = $\frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} π {(\frac{5 a}{2})}^{2}$ = $\frac{25 π a^{2}}{8}$

Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác là:

S = S₂ - S₁ = $\frac{25 π a^{2}}{8} - 6 a^{2} = \frac{a^{2}}{8} (25 π - 48)$

Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC thì AB và AC vạch lên hai hình nón có bán kính đáy là AH

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung AB tạo ra là:

S₁ = π.AH.AB = π.AH.3a

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung AC tạo ra là:

S₁ = π.AH.AC = π.AH.4a

Tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra là:

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{π . A H .3 a}{π . A H .4 a} = \frac{3}{4}$

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

on-tap-chuong-4-phan-hinh-hoc-9.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác