Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 +...+ q^(n-1) = (1-q^n)/(1-q)

Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q \neq 1) .$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có q^{1 – 1} = q⁰ = 1 = $\frac{1 - q}{1 - q} = \frac{1 - q^{1}}{1 - q} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} = \frac{1 - q^{k}}{1 - q} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} + q^{(k + 1) - 1} = \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{k - 1} + q^{(k + 1) - 1}$

$= \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + q^{(k + 1) - 1} = \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + q^{k} = \frac{1 - q^{k} + q^{k} (1 - q)}{1 - q} = \frac{1 - q^{k} + q^{k} - q^{k + 1}}{1 - q}$

$= \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học