Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao

Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 1 = $\frac{1 (1 + 1)}{2} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + \frac{2 (k + 1)}{2} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học