Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 3: 2^(n+1) > n^2 + n + 2

Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2^{n + 1} > n² + n + 2

Lời giải:

Bước 1. Với n = 3, ta có 2^{3 + 1} = 16 > 14 = 3² + 3 + 2. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 3.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là có: 2^{k + 1} > k² + k + 2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

2^{(k +1) + 1} > (k + 1)² + (k + 1) + 2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k ≥ 3, ta có:

2^{(k +1) + 1} = 2 . 2^{k + 1} > 2(k2 + k + 2) = 2k² + 2k + 4 = k² + k² + 2k + 4 > k² + k + 2k + 4

= (k² + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)² + (k + 1) + 2.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học