Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n.(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

a) $1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\mathrm{\dots }+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c) $1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{n-1}=2^n-1$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1² = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2+{(k+1)}^2=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{(k+1)}^2}{6}$

$=\frac{k+1}{6}[k(2k+1)+6(k+1)]$

$=\frac{k+1}{6}[2k^2+7k+6]$

$=\frac{k+1}{6}(k+2)(2k+3)$

$=\frac{k+1}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 2^{1 – 1} = 2⁰ = 1 = 2¹ – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}=2^k-1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}+2^{(k+1)-1}=2^{k+1}-1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}+2^{(k+1)-1}$

$=(2^k-1)+2^{(k+1)-1}$

$=2^k-1+2^k$

$={2.2}^k-1$

$=2^{k+1}-1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau: ....

• Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện ra công thức sau: ....

• Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2^{n + 1} > n² + n + 2....

• Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần ($n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$) ....

• Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp) ....

• Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, ta có: ....

• Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}:$ ....

• Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2: ....

• Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác. ....

• Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp) ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---