Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng

Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10:

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T_n (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

– T₁ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T₁ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T₂ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T₂ = T₁ + T₁ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1].

– T₃ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T₃ = T₂ + T₂ . r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)² + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)³ + a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)³ + (1 + r)² + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

T_n = a[(1 + r)ⁿ + ... + (1 + r)² + (1 + r) + 1]

$= a . \frac{1 - {(1 + r)}^{n + 1}}{1 - (1 + r)} = a . \frac{1 - {(1 + r)}^{n + 1}}{- r} = a . \frac{{(1 + r)}^{n + 1} - 1}{r} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T₁ = a[(1 + r) + 1] $= a . \frac{r^{2} + 2 r}{r} = a . \frac{(r^{2} + 2 r + 1) - 1}{r} = a . \frac{{(1 + r)}^{2} - 1}{r} = a . \frac{{(1 + r)}^{1 + 1} - 1}{r} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = $a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T_{k + 1} = $a . \frac{{(1 + r)}^{(k + 1) + 1} - 1}{r} .$

Thật vậy,

T_{k + 1} = T_k + T_k . r + a

$= a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} + a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} . r + a$

$= a [\frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} + \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} . r + 1]$

$= a [\frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r} + \frac{[{(1 + r)}^{k + 1} - 1] r}{r} + \frac{r}{r}]$

$= a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1 + [{(1 + r)}^{k + 1} - 1] r + r}{r}$

$= a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1 + r {(1 + r)}^{k + 1} - r + r}{r}$

$= a . \frac{{(1 + r)}^{k + 1} - 1 + r {(1 + r)}^{k + 1}}{r}$

$= a . \frac{(1 + r) {(1 + r)}^{k + 1} - 1}{r}$

$= a . \frac{{(1 + r)}^{k + 2} - 1}{r}$

$= a . \frac{{(1 + r)}^{(k + 1) + 2} - 1}{r} .$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = $a . \frac{{(1 + r)}^{n + 1} - 1}{r}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học