Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 2

Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{2 n}{n + 1} .$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 2, ta có $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{4}{3} = \frac{2.2}{2 + 1} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} > \frac{2 k}{k + 1} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} > \frac{2 (k + 1)}{(k + 1) + 1} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} > \frac{2 k}{k + 1} + \frac{1}{k + 1} = \frac{2 k + 1}{k + 1} = \frac{(2 k + 1) (k + 2)}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2 k^{2} + 5 k + 2}{(k + 1) (k + 2)}$

$> \frac{2 k^{2} + 4 k + 2}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2 {(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2 (k + 1)}{k + 2} = \frac{2 (k + 1)}{(k + 1) + 1} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học