Tìm hệ số của x^5 trong khai triển (2x + 3)(x - 2)^6

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶

Lời giải:

Có (2x + 3)(x – 2)⁶

= 2x(x – 2)⁶ + 3(x – 2)⁶.

Ta tìm hệ số của x⁵ trong từng khai triển: 2x(x – 2)⁶ và 3(x – 2)⁶.

+) Có: 2x(x – 2)⁶

= 2x $[C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- 2) + C_{6}^{2} x^{4} {(- 2)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- 2)}^{3}$

$+ C_{6}^{4} x^{2} {(- 2)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- 2)}^{5} + C_{6}^{6} {(- 2)}^{6}]$

= $2 C_{6}^{0} x^{7} + 2 (- 2) C_{6}^{1} x^{6} + 2 {(- 2)}^{2} C_{6}^{2} x^{5} + 2 {(- 2)}^{3} C_{6}^{3} x^{4}$

$+ 2 {(- 2)}^{4} C_{6}^{4} x^{3} + 2 {(- 2)}^{5} C_{6}^{5} x^{2} + 2 {(- 2)}^{6} C_{6}^{6} x .$

Hệ số của x5 trong khai triển này là 2(–2)² $C_{6}^{2}$ = 120.

+) Có: 3(x – 2)⁶

= 3 $[C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- 2) + C_{6}^{2} x^{4} {(- 2)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- 2)}^{3}$

$+ C_{6}^{4} x^{2} {(- 2)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- 2)}^{5} + C_{6}^{6} {(- 2)}^{6}]$

$= 3 C_{6}^{0} x^{6} + 3 (- 2) C_{6}^{1} x^{5} + 3 {(- 2)}^{2} C_{6}^{2} x^{4} + 3 {(- 2)}^{3} C_{6}^{3} x^{3}$

$+ 3 {(- 2)}^{4} C_{6}^{4} x^{2} + 3 {(- 2)}^{5} C_{6}^{5} x + 3 {(- 2)}^{6} C_{6}^{6} .$

Hệ số của x5 trong khai triển này là $3 (- 2) C_{6}^{1}$ = –36.

Vậy hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ là 120 + (–36) = 84.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học