Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n∈ ℕ*

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a₁ = $\frac{1}{2}$

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2} + 1)}{2} = \frac{3}{4}$ l nước, do đó a₂ = $\frac{3}{4}$

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4} + 1)}{2} = \frac{7}{8} .$ l nước, do đó a₂ = $\frac{7}{8}$

Ta có thể dự đoán a_n = $\frac{2^{n} - 1}{2^{n}} .$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = $\frac{1}{2} = \frac{2^{1} - 1}{2^{1}} .$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = $\frac{2^{k} - 1}{2^{k}} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}} .$

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = $= \frac{\frac{2^{k} - 1}{2^{k}} + 1}{2} = \frac{\frac{(2^{k} - 1) + 2^{k}}{2^{k}}}{2} = \frac{{2 . 2}^{k} - 1}{2^{k} . 2} = \frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}} .$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học