Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao

Trang trước Trang sau

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

b) $1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2}$

c) $\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ = $\frac{1^{2} {(1 + 1)}^{2}}{4} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + k^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + k^{3} + {(k + 1)}^{3} = (k + 1)$ ²[(k+1)+1]²4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + k^{3} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3}$

$= \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + \frac{4 {(k + 1)}^{3}}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} [k^{2} + 4 (k + 1)]}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} (k^{2} + 4 k + 4)}{4}$

$= \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4} = \frac{{(k + 1)}^{2} {[(k + 1) + 1]}^{2}}{4} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)². Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) = k {(k + 1)}^{2} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1] = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + \dots + k (3 k + 1) + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= k {(k + 1)}^{2} + (k + 1) [3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) [k (k + 1) + 3 (k + 1) + 1]$

$= (k + 1) (k^{2} + 4 k + 4)$

$= (k + 1) {(k + 2)}^{2} = (k + 1) {[(k + 1) + 1]}^{2} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1 - 1) (2.1 + 1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học